Логаритмично уравнение

[Гост]

[tex]\sum_{k=2}^{n }\frac{1}{log_{x }2^{k-1}.log_{x }2^{k}}=(1-\frac{1}{n})\frac{1}{log_{x }^{2}2}[/tex]

[KOPMOPAH]

$\sum_{k=2}^{n }\frac{1}{log_{x }2^{k-1}.log_{x }2^{k}}=\frac{1}{log_{x }2^{1}.log_{x }2^{2}}+\frac{1}{log_{x }2^{2}.log_{x }2^{3}}+\cdots+\frac{1}{log_{x }2^{n-1}.log_{x }2^{n}}=\\= \frac{1}{1.log_{x }2.2.log_{x }2}+\frac{1}{2log_{x }2.3.log_{x }2}+\cdots+\frac{1}{(n-1)log_{x }2.n.log_{x }2}=\\=\frac{1}{log^2_{x }2}\left ( \frac 1{1.2}+\frac 1{2.3}+\cdots+\frac 1{(n-1).n}\right)=\\=\frac{1}{log^2_{x }2}\left ( \frac 1{1}-\cancel{\frac 12}+\cancel{\frac 12}-\cancel{\frac 1{3}}+\cancel{\frac 13}-\cancel{\frac 14}+\cdots+\cancel{\frac 1{(n-1)}}-\frac 1n\right)=\frac{1}{log^2_{x }2}\left ( 1-\frac 1n\right)$

Какво излезе - че лявата част на "уравнението" е равна на дясната, т.е. май това е тъждество и ако го приемем за уравнение, то решение е всеки $x$, който би могъл да послужи за основа на логаритъм.