Ирационално неравенство

[Гост]

[tex]\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{2}+...+\sqrt{x^{2}}}}<|x|+1[/tex]

[Knowledge Greedy]

Задачата е за индукция.
Да разгледаме случая на един радикал.
[tex]\sqrt{x^2}< \left |x \right |+1[/tex]
Равносилно е на
[tex]\left |x \right |< \left |x \right |+1[/tex], а то дава [tex]0.x<1[/tex], което означава, че всяко реално [tex]x[/tex] е решение.
Когато радикалите са два [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}< \left |x \right |+1[/tex], след повдигане на втора степен ( което не променя дефиниционната област) се получава неравенството [tex]0<\left |x \right |+1[/tex] - също е вярно за всяко реално [tex]x[/tex].

Ако радикалите са три [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}}< \left |x \right |+1[/tex], след повдигане на втора степен ( което не променя дефиниционната област) се получава неравенството [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{x^2}}< 2\left |x \right |+1[/tex], а от него
[tex]0<3x^2+3\left |x \right |+1[/tex] - също е вярно за всяко реално [tex]x[/tex].
Прилагаме МПМИ и получаваме ...
Отговор [tex]\forall x[/tex]