Полиноми

[Гост]

Да се намерят всички полиноми f, които задоволяват равенството [tex]f(x^{2}-3)=x^{2}f(x-1)[/tex] за всички реални х.

[ptj]

Търсените полиноми ще са от вида [tex]f=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n[/tex].

От [tex]x^2-3=x^2-1-2=(x+1)(x-1)-2[/tex] и от равенството [tex]f(x^2-3)=x^2f(x-1)[/tex] и развитието на Нютоновия бином [tex]\bigg((x+1)(x-1)-2\bigg)^k[/tex] ще следва

[tex]\forall x\in Z:[/tex]
[tex]f(x^2-3)\equiv f\bigg((x+1)(x-1)-2\bigg)\equiv f(-2) \equiv a_0(-2)^n+a_1(-2)^{n-1}+...+a_{n-1}(-2)+a_n \pmod {x-1}[/tex]

Нека [tex]n\ge1[/tex]

Да разгледаме само случая когато [tex](x-1)[/tex] пробягва множеството на простите числа:

[tex]f(x^2-3)=p_1.p_2.p_3....+f(-2)[/tex]
Горното е в противоречие с факта, че [tex]f(x^2-3)[/tex] e някое крайно реално число, т.е. допускането [tex]n\ge1[/tex] е невярно.

При [tex]n=0[/tex] търсените полиноми са константи.

П.П. Трудничка ми се струва задачата за обикновен 12-класник.

[Kre4etalo]

Решението, колега, не е коректно, понеже в условието не е дадено, че търсим полиноми с цели коефициенти, така че за сравнимост по модул не можем да говорим. Така или иначе решения са и полиноми с цели коефициенти, така че вероятно имаш грешка и при допълнителното условие за целочисленост.
Иначе първото, което обикновено се прави в такъв тип задачи, е да се сравнят степените. Ако полиномът е от степен $n$, то отляво имаме степен $2n$, докато от дясно $n+2$. Оттук $n=2$. Като заместим с произволен полином $ax^2+bx+c$, използвайки метода на неопределените коефициенти, достигаме до общия вид на решенията - коефициентите $(a,b,c)$ трябва да се пропорционални на $(1,2,-3)$
Иначе задачата далеч не е това, което сме свикнали да виждаме в този подфорум. Каквито не са и другите последно публикувани задачи в него. Явно гостът е един и същ. Дали ще каже откъде и за какво са му тези задачи? А приликата с госта от форума по Висша Математика е очевидна.

[ptj]

О.К.
При [tex]x=0[/tex] получаваме [tex]f(-3)=0[/tex].

При [tex]x^2-3=x-1\Leftrightarrow x=-1[/tex] или [tex]x=2[/tex] съответно получаваме

[tex]f(-2)=1.f(-2)[/tex] и [tex]f(1)=4f(1)[/tex].

След като [tex](-3)[/tex] и [tex]1[/tex] са нули на полиномите, а те са само от 2-ра степен единствената възможност е [tex]f(x)=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3[/tex] (с точност до пропроционалност на коефициентите).

[aifC]

Сигурно Госта е някой бот.