Квадратно уравнение

[Гост]

Ако [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] са решения на уравнението [tex]x^{2}-2001x+1=0[/tex], да се докаже, че [tex]x_{1 }^{n}+x_{2 }^{n}[/tex] е цяло число.

[Добромир Глухаров]

Формули на Виет:
$x_1+x_2=2001$
$x_1x_2=1$
Означаваме $\sigma_n=x_1^n+x_2^n$
Използвайки развитието на Нютоновия бином:
$(a+b)^n=a^n+{n\choose1}a^{n-1}b+{n\choose2}a^{n-2}b^2+\cdots+{n\choose{n-2}}a^2b^{n-2}+{n\choose{n-1}}ab^{n-1}+b^n$,
Преобразуваме така:
$x_1^n+x_2^n=(x_1+x_2)^n-{n\choose1}x_1^{n-1}x_2-{n\choose2}x_1^{n-2}x_2^2-{n\choose3}x_1^{n-3}x_2^3-\cdots-{n\choose{n-2}}x_1^2x_2^{n-2}-{n\choose{n-1}}x_1x_2^{n-1}=\\=2001^n-{n\choose1}x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})-{n\choose2}x_1^2x_2^2(x_1^{n-4}+x_2^{n-4})-\cdots$
И получаваме, че:
$\sigma_n=2001^n-\sum_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]}{n\choose k}\sigma_{n-2k}$
Тоест, $\sigma_n$ е целочислена функция на $\sigma_{n-2},\sigma_{n-4},\sigma_{n-6}...$ - това е индуктивната стъпка.
Но $\sigma_0=x_1^0+x_2^0=1+1=2$ - цяло число, $\sigma_1=x_1^1+x_2^1=x_1+x_2=2001$ - цяло число, $\sigma_2=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2001^2-2.1$ - цяло число, и т.н. - това е базата за индукция.
От базата и индуктивната стъпка, съгласно Аксиомата за Пълната Математична Индукция (АПМИ) следва $\sigma_n\in\mathbb{Z}\forall n\in\mathbb{N}^0$ - разглежданата симетрична функция за корените дава цяло число за всяко $n=0,1,2,3...$

[pal702004]

Или, отново с мат. индукция, възползвайки се от факта, че

$x_1^n+x_2^n=(x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})$

Получаваме

$\sigma_n=2001\sigma_{n-1}-\sigma_{n-2}$