Показателно уравнение

[S.B.]

[tex](2 + \sqrt{3})^{x^{2} - 2x + 2} + (2 - \sqrt{3})^{x^{2} - 2x} = \frac{14}{2 - \sqrt{3}}[/tex]
Отг. [tex]x_{1 } = 1 + \sqrt{2}[/tex] , [tex]x_{2 } = 1 - \sqrt{2}[/tex]

[Alex98]

[tex](2 + \sqrt{3})^{x^{2} - 2x + 2} + (2 - \sqrt{3})^{x^{2} - 2x} = \frac{14}{2 - \sqrt{3}}[/tex]
Първо ще направим еднакви степените на двете събираеми от дясната страна на равенството използвайки формулите за степенуване от шести клас [tex](a^{m+n}=a^m.a^n)[/tex], както и ще преобразуваме дясната страна умножаваики числителя и знаменателя с [tex](2+\sqrt{3})[/tex]

[tex](2 + \sqrt{3})^2(2 + \sqrt{3})^{x^{2} - 2x } + (2 - \sqrt{3})^{x^{2} - 2x} = \frac{14(2+\sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2+\sqrt{3})}[/tex]
[tex](2+\sqrt{3})^2(2 + \sqrt{3})^{x^{2} - 2x } + (2 - \sqrt{3})^{x^{2} - 2x} =14(2+\sqrt{3})[/tex]
Сега умножаваме и лявата и дясната страна на уравнението с [tex](2 + \sqrt{3})^{x^{2} - 2x }=t[/tex].Допустимо е да го направим тъй като [tex]t\ne 0[/tex].По този начин уравнението придобива вида:
[tex](2+\sqrt{3})^2.t^2+[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^{x^2-2x}=14(2+\sqrt{3}).t[/tex] и уравнението се сведе до квадратно с малко гадни коефициенти
[tex](2+\sqrt{3})^2.t^2-14(2+\sqrt{3}).t+1=0[/tex]
[tex]D=196(2+\sqrt{3})^2-4(2+\sqrt{3})^2=192(2+\sqrt{3})2=[8(2+\sqrt{3})\sqrt{3}]^2[/tex]
[tex]t_1=\frac{14(2+\sqrt{3})+8(2+\sqrt{3})\sqrt{3}}{2(2+\sqrt{3})^2}=\frac{7+4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^1[/tex]
[tex]t_2=\frac{14(2+\sqrt{3})-8(2+\sqrt{3})\sqrt{3}}{2(2+\sqrt{3})^2}=\frac{7-4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})^2(2+\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})^3}=\frac{1}{(2+\sqrt{3})^3}=(2+\sqrt{3})^{-3}[/tex]
Сега вече може да се върнем към полагането като разгледаме и двата случая за [tex]t_1[/tex] и за [tex]t_2[/tex]
При първия случай получаваме квадратното уравнение [tex]x^{2} - 2x-1=0[/tex] , с решения [tex]x_1=1+\sqrt{2} ; x_2=1-\sqrt{2}[/tex]
При втория случай получаваме квадратното уравнение [tex]x^{2} - 2x+3=0[/tex] , което няма реални корени

[S.B.]

Поздравления за Alex98!
Втори начин:
[tex](2 + \sqrt{3})^{x^{2} - 2x + 2} + (2 - \sqrt{3})^{x^{2} - 2x} = \frac{14}{2 - \sqrt{3}}[/tex]
Нека [tex]2 + \sqrt{3} = A \Rightarrow 2 - \sqrt{3} = \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{A}[/tex]
Нека [tex]x^{2} - 2x = y[/tex] и тогава уравнението добива вида :[tex]A^{y + 2} + \frac{1}{A^{y}} = 14.A \Leftrightarrow A^{2y + 2} - 14A^{y + 1} + 1 = 0[/tex]
[tex]A^{2(y + 1)} - 14.A^{y + 1} + 1 = 0[/tex] , Полагам [tex]A^{y + 1} = t > 0[/tex] и получавам :
[tex]t^{2} - 14t + 1 = 0[/tex] , [tex]D = 192 = 3.8^{2} \Rightarrow \sqrt{D} = 8\sqrt{3}[/tex]
[tex]t_{1 } = 7 + 4\sqrt{3} = (3 + 4\sqrt{3} + 4) = (2 + \sqrt{3})^{2} \Rightarrow t_{1 } = A^{2}[/tex]
[tex]t_{2 } = 7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2 - \sqrt{3})^{2} \Rightarrow t_{2 } = \frac{1}{A^{2}} = А^{- 2}[/tex]
Връщам субституцията:[tex]A^{y + 1} = t_{1 } \Rightarrow A^{x^{2} - 2x +1} = A^{2} \Rightarrow x^{2} - 2x -1 = 0 ,x_{1 } = 1 + \sqrt{2} , x_{2 } = 1 - \sqrt{2}[/tex]
[tex]A^{y + 1} = t_{2 } \Rightarrow A^{x^{2} - 2x + 1} = A^{- 2} \Rightarrow x^{2} - 2x +1 = -2 \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 3= 0 , D = -8 < 0[/tex] няма реални корени
Отговор : [tex]x_{1 } = 1 + \sqrt{2} , x_{2 } = 1 - \sqrt{2}[/tex]

[ева]

Скрит текст: покажи

На мен ми е по-лесно като въведа 2 неизвестни.

полагаме: [tex](2+\sqrt{3})^{x^{2}-2х}[/tex]=а ; [tex](2-\sqrt{3})^{x^{2}-2х}[/tex]=b

[tex]\begin{array}{|l} (2+\sqrt{3})^{2}a+b=\frac{14}{2-\sqrt{3}} \\ ab=[ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) ]^{x^{2}-2x}\end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (4+4\sqrt{3}+3)a+b=\frac{14}{2-\sqrt{3}} /.(2-\sqrt{3})\ne0\\ ab=1 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})a+(2-\sqrt{3})b=14\\ b = \frac{1}{a} (зам.)\end{array}[/tex]

(14-7[tex]\sqrt{3}[/tex]+8[tex]\sqrt{3}[/tex]-12)a+[tex]\frac{2-\sqrt{3}}{a}[/tex]-14=0 /.a[tex]\ne[/tex]0

(2+[tex]\sqrt{3}[/tex])[tex]a^{2}[/tex]-14a+(2-[tex]\sqrt{3}[/tex])=0 ; k=-7 D=49+([tex]\sqrt{3}[/tex]-2)([tex]\sqrt{3}[/tex]+2)=48

[tex]a_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{7\pm4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a_{1 }[/tex]=2+[tex]\sqrt{3}[/tex] ;[tex]a_{2 }[/tex]=26-15[tex]\sqrt{3}[/tex]

(към полагането) [tex](2+\sqrt{3})^{x^{2}-2х}[/tex]=2+[tex]\sqrt{3}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex]-2х=1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex]-2х-1=0 ;к=-1 D=1+1=2 ; [tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{1\pm\sqrt{2}}{1}[/tex]

[tex]x_{1 }[/tex]=1+[tex]\sqrt{2}[/tex] ; [tex]x_{2 }[/tex]=1-[tex]\sqrt{2}[/tex]

Защо от [tex]а_{2 }[/tex] не се получават още два корена ?