2 ирационални у-я

[Гост]

1. [tex]\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}=x[/tex]

2. [tex]x^{3}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}[/tex], [tex](0<a<\frac{1}{4})[/tex]

[KOPMOPAH]

$x=3$

[Гост]

$x=3$

и [tex]x=0[/tex]

[KOPMOPAH]

Как съм проспал очевадния корен...

[123a]

Това $x^3$ не ми харесва във втората задача. Ако го заменим с $x^2$ се получават нещата

Нека използваме $x^2$

[tex]x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}[/tex]

$DM: x\ge\frac{1}{16}-a^2$

Изкуствено добавяме $a^2$ от ляво и от дясно

[tex]x^{2}+2ax+a^2+\frac{1}{16}=a^2-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}[/tex] и получаваме

$(x+a)^2+\frac{1}{16}-a^2=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}} (*)$.

Нека положим$\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=y\ge0$ и повдигнем на втора степен. Тогава получаваме

$x-y^2=\frac{1}{16}-a^2$. От $(*)$ сега имаме

$(x+a)^2+x-y^2=-a+y=>(x+a)^2+(x+a)=y^2+y$

От ДМ и от това, че $0<a<\frac{1}{4}=>x+a>0$.

Имаме и $y^2+y>0$, понеже принадлежи на интервала на монотонност на функцията $(x+a)^2+(x+a)$

От което пък следва, че $x+a=y$. Като се върнем в полагането, получаваме $\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=x+a$.

Заместваме последното в $(*)$ и получаваме уравнението $x^2+(2a-1)x+\frac{1}{16}=0$
$D=4a^2-4a+\frac{3}{4}>0$ при $0<a<\frac{1}{4}$

Корените са $x_{1,2}=\frac{-(2a-1)\pm\sqrt{4a^2-4a+\frac{3}{4}}}{2}$

[Гост]

:oops: Как съм проспал очевадния корен...

ами ако се опитваш да налучкваш е възможно.
Иначе идеята е израза да приеме вида: [tex]\sqrt{t+\sqrt{t+....+\sqrt{t}}}=k[/tex] и това се получава при [tex]x+2\sqrt{3x}=3x \Rightarrow \sqrt{3x}=x \Rightarrow x_1=0 ; x_2=3[/tex]

[KOPMOPAH]

ами ако се опитваш да налучкваш е възможно.
Иначе идеята е израза да приеме вида: [tex]\sqrt{t+\sqrt{t+....+\sqrt{t}}}=k[/tex]

Идеята е ясна. Изразът (както справедливо посочваш) приема вида $\sqrt{t+\sqrt{t+....+\sqrt{t}}}=k$ и т.н.
С налучкване не става.

A колко е $x=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$ ?

[Гост]

ами ако се опитваш да налучкваш е възможно.
Иначе идеята е израза да приеме вида: [tex]\sqrt{t+\sqrt{t+....+\sqrt{t}}}=k[/tex]

Идеята е ясна. Изразът (както справедливо посочваш) приема вида $\sqrt{t+\sqrt{t+....+\sqrt{t}}}=k$ и т.н.
С налучкване не става.

A колко е $x=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$ ?

[tex]x=3[/tex]

Забележката с налучкването беше, защото хората се нуждаят не само от отговори, а и от решения.Нека да запазим добрия тон и да спрем с офтопика.

П.П. Откакто видях обява "Давам ОРОЦИ по български език и литература за НВО" , не обръщам много внимание на граматиката и правописа

[Kre4etalo]

A колко е $x=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$ ?

Колега, ако не е тайна, къде видя тази задача?