Обратна функция

[ammornil]

Да се намери обратната функция на зависимостта x=(2^y)/(y^2) и да се изследва за екстремуми в областта x принадлежи на отворения интервал (1;е).

(не успях да ползвам функция \frac{}{ }, условието е Х равно на две на степен игрек върху игрек квадрат, интервалът за Х е отворен от едно до Неперовата константа).

Моля, пробвайте да дадете решение. Задачата е от упражнение по ВМ в ТУ-Варна. Не знам дали изобщо има решение, може да е само за да ни покаже колко сме тъпи и ограничени (което за някои от нас може и да се окаже вярно). Благодаря предварително за усилията.

[mkmarinov]

Имам предложение, но не знам дали ще е вярно.
(Да се отбележи, че тази функция не е еднозначно определена за всяко у, т.е. обратна функция може да се намери само за специфичен интервал, зададен за у.)
---------------------------------------
При коренуване получаваш
[tex]\pm\sqrt{x}=\frac{2^{\frac{y}{2}}}{y}[/tex]
[tex]\frac{y}{2^{\frac{y}{2}}}=\pm x^{-\frac{1}{2}} / \frac{d}{dx}[/tex]

[tex]\frac{\frac{dy}{dx}.2^{-\frac{y}{2}}+\frac{dy}{dx}.\frac{1}{2}.ln(2).2^{-\frac{y}{2}}}{2^y}=\pm \frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}.2^{-\frac{y}{2}}.2^{-y}(1+\frac{ln2}{2})=\pm \frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex](1+\frac{ln2}{2})2^{-\frac{3}{2}y}.dy=\pm d x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]-\frac{2}{3}(1+\frac{ln2}{2})2^{-\frac{3}{2}y}.d(-\frac{3}{2}y)=\pm d x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]-\frac{2+ln2}{3}.2^{-\frac{3}{2}y}.d(-\frac{3}{2}y)=\pm d x^{-\frac{1}{2}} / \int[/tex]
[tex]-\frac{2+ln2}{3}.\frac{1}{ln2}.2^{-\frac{3}{2}y}=\pm x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]2^{-\frac{3}{2}y}=\pm \frac{3ln2}{(2+ln2)\sqrt{x}}[/tex]; трябва да се вземе положителното, значи +.
[tex]2^{-\frac{3}{2}y}=\frac{3ln2}{(2+ln2)\sqrt{x}}[/tex]
[tex]-\frac{3}{2}y=log_2(\frac{3ln2}{(2+ln2)\sqrt{x}})[/tex]
[tex]y=-\frac{2}{3}log_2(\frac{3ln2}{(2+ln2)\sqrt{x}})=\frac{2}{3}log_2(\frac{(2+ln2)\sqrt{x}}{3ln2})[/tex]
Което като го гледам не ми вдъхва много доверие.

[b1ck0]

За да намерим обратната на функцията y=f(x), (ако има такава) решаваме уравнението x=f(y) спрямо у.
в нашия слувай: [tex]x=\frac{2^{y}}{y^{2}}[/tex]
решаваме [tex]y=\frac{2^{x}}{x^{2}}[/tex], спрямо [tex]x[/tex] и получаваш обратната функция ...

П.С: принципно решението на това нещо е:
[tex]x_{1} =-2\,{\it LambertW} \left( -\frac{1}{2}\,{\frac {\ln \left( 2 \right) }{\sqrt {y}}} \right) \left( \ln \left( 2\right) \right) ^{-1}[/tex]

[tex]x_{2} =-2\,{\it LambertW}\left( \frac{1}{2}\,{\frac {\ln \left( 2 \right) }{\sqrt {y}}} \right) \left( \ln \left( 2 \right) \right) ^{-1}[/tex]

Lambert W function, и както се казва .... екстремумите си ги търси сам ... Предполагам че нещо си объркал условието, защото аз уча в ТУ-Варна ... и там такива задачи не могат да решават ... ( доцентите имам в предвид ) ....