Задача стереометрия

[Гост]

Здравейте, бихте ли ми помогнали.
[tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]- куб
[tex]O_{1}=AB_{1} \cap BA_{1}[/tex]
[tex]O_{2}=BC_{1} \cap CB_{1}[/tex]
Докажете, че [tex]O_{1}O_{2}||(ABCD)[/tex]

[S.B.]

Признак за успоредност между права и равнина:Ако права,нележаща в една равнина,е успоредна на някоя права в равнината,то правата и равнината са успоредни

Разглеждам [tex]\triangle AB_{1 }C[/tex] : [tex]т.O_{1 } \in AB_{1 }[/tex] и [tex]O_{1 }[/tex] е среда на [tex]AB_{1 }[/tex] ( пресечна точка на диагоналите на стената [tex]ABB_{1 }A_{1 }[/tex])
Аналогично [tex]т.O_{2 }[/tex] е среда на [tex]CB_{1 }[/tex] , [tex]\Rightarrow O_{1 }O_{2 }[/tex] е средна отсечка за [tex]\triangle AB_{1 }C \Rightarrow O_{1 }O_{2 }[/tex] II [tex]AC[/tex]
От [tex]O_{1 }O_{2 }[/tex] II [tex]AC[/tex] и [tex]AC \in (ABCD) \Rightarrow O_{1 }O_{2 }[/tex] II [tex](ABCD)[/tex] (според признака за успоредност между права и равнина)

[Гост]

Признак за успоредност между права и равнина:Ако права,нележаща в една равнина,е успоредна на някоя права в равнината,то правата и равнината са успоредни

Разглеждам [tex]\triangle AB_{1 }C[/tex] : [tex]т.O_{1 } \in AB_{1 }[/tex] и [tex]O_{1 }[/tex] е среда на [tex]AB_{1 }[/tex] ( пресечна точка на диагоналите на стената [tex]ABB_{1 }A_{1 }[/tex])
Аналогично [tex]т.O_{2 }[/tex] е среда на [tex]CB_{1 }[/tex] , [tex]\Rightarrow O_{1 }O_{2 }[/tex] е средна отсечка за [tex]\triangle AB_{1 }C \Rightarrow O_{1 }O_{2 }[/tex] II [tex]AC[/tex]
От [tex]O_{1 }O_{2 }[/tex] II [tex]AC[/tex] и [tex]AC \in (ABCD) \Rightarrow O_{1 }O_{2 }[/tex] II [tex](ABCD)[/tex] (според признака за успоредност между права и равнина)

Здрашейте S.B. и аз направих така, но мислех, че трябва да се докаже, че правта [tex]O_{1}O_{2}[/tex] не лежи в равнината [tex](ABCD)[/tex]
Смисъл аз виждам, че е така , но не знам как да го докажа.

[S.B.]

Здрашейте S.B. и аз направих така, но мислех, че трябва да се докаже, че правта [tex]O_{1}O_{2}[/tex] не лежи в равнината [tex](ABCD)[/tex]
Смисъл аз виждам, че е така , но не знам как да го докажа.

Използвай метода "допускане на противното"
Ако допуснеш,че [tex]O_{1 }O_{2 } \in (ABCD)[/tex] то би следвало,че [tex]O_{1 }[/tex] лежи в равнината [tex](ABCD)[/tex] и тогава [tex]\Rightarrow (ABB_{1 }A_{1 })[/tex] има 3 общи точки с [tex](ABCD) - т.A ,т.B ,т.O_{1 }[/tex]. Но през 3 точки минава точно една равнина [tex]\Rightarrow ABCD\equiv ABB_{1 }A_{1 }[/tex] и тогава няма да съществува въпросния куб.Същото се отнася и за [tex]т.O_{2 }[/tex] - ако [tex]O_{2 } \in (ABCD)[/tex],то тогава [tex](ABCD) \equiv (BCC_{1 }B_{1 })[/tex] ,което е в противоречие с условието ,че съществува куб [tex]ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow O_{1 }O_{2 } \notin (ABCD)[/tex]