Доказателство стереометрия

[Гост]

Докажете, че ако две пресичащи се прави от една равнина са успоредни на друга равнина , то двете равнини са успоредни.

[ptj]

Всеки вектор от равнината може да се представи по единствен начин спрямо два базови вектора.
Тогава ако вземем два вектора $\vec a, \vec b $от пресичащите се прави в еднатата равнина и някои техни успоредни съответно върху другите две успоредни прави във втората равнина - $\vec {a_1}, \vec {b_1}$ като [tex]\vec a=\vec a_1 , \vec b= \vec b_1[/tex].

Всеки вектор [tex]\vec c=m.\vec a + n.\vec b[/tex] ще има точно един образ във втората равнина [tex]\vec c_1=m.\vec {a_1+n.\vec b_1}[/tex] и обратното, т.е. съответните прави също ще са успоредни. Непосредствено следствие е, че никои две такива прави не се пресичат, т.е. равнините нямат обща точка.

[Петър Евгениев]

Знаем със сигурност, че [tex]\begin{cases} a\cap b, a\in \alpha, b\in \alpha \\ a||\beta, b||\beta \end{cases}[/tex]
Трябва да докажем, че [tex]\alpha||\beta[/tex]
Нека допуснем противното на това, което се опитваме да докажем
Нека за момент си представим, че в някоя паралелна вселена [tex]\alpha\cap \beta[/tex]
Тогава [tex]\alpha\cap \beta=s[/tex], пресечницата лежи и в двете равнини. [tex]s\in \alpha , s\in \beta[/tex]
Щом [tex]a\cap b[/tex] и [tex]a,b \in \alpha[/tex], и [tex]s\in \alpha[/tex], то със сигурност или [tex]a[/tex], или [tex]b[/tex] ще пресича [tex]s[/tex], защото ако едната от двете [tex]a[/tex] или [tex]b[/tex] е успоредна на [tex]s[/tex], то другата със сигурност няма да е успоредна на [tex]s[/tex], защото през точка, нележаща на дадена права минава единствена права успоредна на дадената.
Нека [tex]a\cap s=M \Rightarrow M\in \alpha, M\in \beta[/tex] и [tex]M\in a[/tex] което противоречи на [tex]a|| \beta[/tex].
Следователно нашето допускане, че [tex]\alpha\cap \beta[/tex] при тези условия е невъзможно. Тоест [tex]\alpha||\beta[/tex]

[Гост]

Всеки вектор от равнината може да се представи по единствен начин спрямо два базови вектора.
Тогава ако вземем два вектора $\vec a, \vec b $от пресичащите се прави в еднатата равнина и някои техни успоредни съответно върху другите две успоредни прави във втората равнина - $\vec {a_1}, \vec {b_1}$ като [tex]\vec a=\vec a_1 , \vec b= \vec b_1[/tex].

Всеки вектор [tex]\vec c=m.\vec a + n.\vec b[/tex] ще има точно един образ във втората равнина [tex]\vec c_1=m.\vec {a_1+n.\vec b_1}[/tex] и обратното, т.е. съответните прави също ще са успоредни. Непосредствено следствие е, че никои две такива прави не се пресичат, т.е. равнините нямат обща точка.

Всичко това е абселютно вярно стига да се учи в училище

[ptj]

Знаем , че две прави определят еднозначно една равнина.
Тогава ако вземем ортогоналните проекции да двете прави във втората равнина, ще получим две двойки взаимно успоредни прави от двете равнини. Нека двете равнини имат обща точка и транслираме двете двойки успоредни прави през нея. Тогава съгласно аксиомата, че през точка може да се построи само една права успоредна на дадена, ще получим, че двете 2-ки транслирани прави съвпадат, т.е. и самите равнини съвпадат, което е противоречие. Сл. равнините нямат обща точка.