Паралелепипед

[Гост]

[tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]- правоъгълен паралелепипед. Намерете пробода [tex]Q[/tex] на правата [tex]A_{1}C[/tex] с равнината [tex](DBB_{1})[/tex] и [tex]A_{1}Q:QC=?[/tex]
За първата част от задачата, мисля, че я написах правилно.
[tex]A_{1}\notin (BDB_{1})[/tex]
[tex]C\notin (BDB_{1})[/tex]
[tex]\Rightarrow A_{1}C\notin (BDB_{1})[/tex], но [tex]Q\in(BDB_{1})[/tex] и [tex]Q\in A_{1}C[/tex] [tex]\Rightarrow Q[/tex] е търсения пробод т.е. [tex]A_{1}C\cap (DBB_{1})=Q[/tex]
Но за отношението не знам как. Отговора е [tex]A_{1}Q:QC=1:1[/tex]

[S.B.]

[tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]- правоъгълен паралелепипед. Намерете пробода [tex]Q[/tex] на правата [tex]A_{1}C[/tex] с равнината [tex](DBB_{1})[/tex] и [tex]A_{1}Q:QC=?[/tex]
За първата част от задачата, мисля, че я написах правилно.
[tex]A_{1}\notin (BDB_{1})[/tex]
[tex]C\notin (BDB_{1})[/tex]
[tex]\Rightarrow A_{1}C\notin (BDB_{1})[/tex], но [tex]Q\in(BDB_{1})[/tex] и [tex]Q\in A_{1}C[/tex] [tex]\Rightarrow Q[/tex] е търсения пробод т.е. [tex]A_{1}C\cap (DBB_{1})=Q[/tex]
Но за отношението не знам как. Отговора е [tex]A_{1}Q:QC=1:1[/tex]

Никак не ми звучи убедително!Как реши,че това е точно тази точка [tex]Q[/tex] ,която се търси в задачата?
Разглеждаш [tex]ABCD[/tex] - [tex]AC \cap BD = т.O[/tex] ;Аналогично в [tex]A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] - [tex]A_{1 }C_{1 } \cap B_{1 }D_{1 } = т.O_{1 }[/tex]
[tex]OO_{1 }[/tex] се явява пресечницата на равнините [tex](ACC_{1 }A_{1 })[/tex] и [tex](BDD_{1 }B_{1 })[/tex];
В равнината [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex] имаш :
[tex]A_{1 }C \cap AC_{1 } = Q \in OO_{1 } \Rightarrow Q \in A_{1 }C[/tex] и [tex]Q \in BDD_{1 }B_{1 }[/tex] Получи се ,че [tex]Q[/tex] е търсения пробод;
В равнината [tex](ACC_{1 }A_{1 })[/tex] ,която е правоъгълник (оставям на теб удоволствието да докажеш това!) ,диагоналите [tex]AC_{1 } \cap A_{1 }C = т.Q \Rightarrow A_{1 }Q : QC = 1 : 1[/tex] (знаеш,че диагоналите на правоъгълника се разполовяват в пресечната си точка)

[Гост]

[tex]A_{1 }C \cap AC_{1 } = Q \in OO_{1 } \Rightarrow Q \in A_{1 }C[/tex] и [tex]Q \in BDD_{1 }B_{1 }[/tex] Получи се ,че [tex]Q[/tex] е търсения пробод;

Как преценихте, че [tex]A_{1}C\cap AC_{1}=Q\in OO_{1}[/tex] Всичко друго разбрах.

[S.B.]

[tex]A_{1 }C \cap AC_{1 } = Q \in OO_{1 } \Rightarrow Q \in A_{1 }C[/tex] и [tex]Q \in BDD_{1 }B_{1 }[/tex] Получи се ,че [tex]Q[/tex] е търсения пробод;

Как преценихте, че [tex]A_{1}C\cap AC_{1}=Q\in OO_{1}[/tex] Всичко друго разбрах.

Начертайте паралелепипеда.
Намерете [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex] - това е правоъгълник с диагонали [tex]AC_{1 }[/tex] и [tex]A_{1 }C[/tex],[tex]AC_{1 }\cap A_{1 }C = т.Q[/tex]; Постройте пресечницата на [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex] и [tex]BDD_{1 }B_{1 }[/tex] - [tex]OO_{1 }[/tex] Повтарям как става това:
В равнината [tex]ABCD : AC\cap BD = O[/tex],като [tex]AO = OC ,BO = OD[/tex] ; В равнината [tex]A_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 } : A_{1 }C_{1 } \cap B_{1 }D_{1 } = O_{1 }[/tex],като [tex]A_{1 }O_{1 } = O_{1 }C_{1 } , B_{1 }O_{1 } = O_{1 }D_{1 }[/tex]
[tex]т. Q \in OO_{1 }[/tex] Tази права минава през пресечната точка на диагоналите на [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex],която е т.[tex]Q[/tex],защото [tex]O[/tex] и [tex]O_{1 }[/tex] са среди на горната и долната основа на правоъгълника,а диагоналите му хем са равни,хем се разполовяват.
За по-прегледно можете да начертаете [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex] на отделен чертеж.Ще видите ,че [tex]OO_{1 } \bot AC , OO_{1 } \bot A_{1 }C_{1 }[/tex] и минава през [tex]Q[/tex]