Граничка

[Davids]

Понеже съм се заел на самоучачка да си работя с граници, та малко нивото ми е ниско... Идеи относно тази?

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{1 - 2cosx}$

[S.B.]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{1 - 2cosx} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{2(\frac{1}{2} - cosx)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{2(cos\frac{\pi}{3} - cosx)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{- 4.sin(\frac{\pi}{3} - x).sin(\frac{\pi}{3} + x)} =[/tex]
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{1}{4.sin(\frac{\pi}{3} + x)} = \frac{1}{4.sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{4.\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]

[Davids]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{1 - 2cosx} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{2(\frac{1}{2} - cosx)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{2(cos\frac{\pi}{3} - cosx)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{- 4.sin(\frac{\pi}{3} - x).sin(\frac{\pi}{3} + x)} =[/tex]
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{1}{4.sin(\frac{\pi}{3} + x)} = \frac{1}{4.sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{4.\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]

Супер, благодаря много! Значи, много мразя да се заблуждавам от уроци по определени тертипи.. като почна да уча дадени методики, и сякаш ми се затваря интуитивната аура за елементарни неща дори, но в друга посока... Та, в този ред на мисли, ще има ли начин да стане чрез някакво приложение на теоремата $lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$?

[S.B.]

Супер, благодаря много! Значи, много мразя да се заблуждавам от уроци по определени тертипи.. като почна да уча дадени методики, и сякаш ми се затваря интуитивната аура за елементарни неща дори, но в друга посока... Та, в този ред на мисли, ще има ли начин да стане чрез някакво приложение на теоремата $lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$?

Ако можеше да се преобразува така ,че да се получи [tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{x - \frac{\pi}{3}}[/tex] тогава да , но аз лично не виждам как би могло това да стане .При тази задача,аз мисля,че нямам как да се използва [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1[/tex]

[Davids]

Супер, благодаря много! Значи, много мразя да се заблуждавам от уроци по определени тертипи.. като почна да уча дадени методики, и сякаш ми се затваря интуитивната аура за елементарни неща дори, но в друга посока... Та, в този ред на мисли, ще има ли начин да стане чрез някакво приложение на теоремата $lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$?

Ако можеше да се преобразува така ,че да се получи [tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{x - \frac{\pi}{3}}[/tex] тогава да , но аз лично не виждам как би могло това да стане .При тази задача,аз мисля,че нямам как да се използва [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1[/tex]

Абсолютно съгласен съм... но след като бях изрешавал трийсетина за упражняване да откривам тази зависимост в този раздел... бях се самообрекъл да търся нея... и само нея (като верен посветен съпруг )

[Гост]

Лопитал е измислил начин......
Всъшност точно така е намерена границата [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1[/tex]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin (x-\frac{\pi}{3})}{1-2cosx}=\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{(sin (x-\frac{\pi}{3}))'}{(1-2cosx)'}=\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{cos (x-\frac{\pi}{3})}{2sinx}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

А защо на S.B. не е верен отговора.Ами много просто , защото е объркана формулата [tex]cos \alpha - cos \beta = -2sin \frac{\alpha+\beta}{2}.sin \frac{\alpha-\beta}{2}[/tex] иначе ще стане и по този начин , но трябва да се напише още един ред , като се разложи числителя по формулата [tex]sin \alpha = 2sin \frac{\alpha}{2}.cos \frac{\alpha}{2}[/tex]

[S.B.]

Лопитал е измислил начин......
Всъшност точно така е намерена границата [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1[/tex]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin (x-\frac{\pi}{3})}{1-2cosx}=\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{(sin (x-\frac{\pi}{3}))'}{(1-2cosx)'}=\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{cos (x-\frac{\pi}{3})}{2sinx}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

А защо на S.B. не е верен отговора.Ами много просто , защото е объркана формулата [tex]cos \alpha - cos \beta = -2sin \frac{\alpha+\beta}{2}.sin \frac{\alpha-\beta}{2}[/tex] иначе ще стане и по този начин , но трябва да се напише още един ред , като се разложи числителя по формулата [tex]sin \alpha = 2sin \frac{\alpha}{2}.cos \frac{\alpha}{2}[/tex]

Да наистина съм объркала формулата, но все пак не виждам чрез Лопитал Вие да прилагате теоремата [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1[/tex]
към което се стреми Davids
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3}}{1 -2cosx} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{2(\frac{1}{2} - cosx) } = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin(x - \frac{\pi}{3})}{2(cos\frac{\pi}{3} - cosx)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{2sin\frac{(x - \frac{\pi}{3})}{2}.cos\frac{(x - \frac{\pi}{3})}{2}}{- 4.sin \frac{(\frac{ \pi}{3} - x)}{2}.sin\frac{(x + \frac{\pi}{3})}{2}} =[/tex]
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{cos\frac{x - \frac{\pi}{3}}{2}}{2.sin\frac{x + \frac{\pi}{3}}{2}} = \frac{cos0^\circ}{2.sin\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Това, което от Гост » Сря Окт 17, 2018 10:11 pm е предложил - като втори подход:

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin\left (x-\frac{\pi}{3} \right )}{1-2cosx}=[/tex]
[tex]=\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{sin\left (x-\frac{\pi}{3} \right )}{x-\frac{\pi}{3} }[/tex]:[tex]\frac{1-2cosx}{x-\frac{\pi}{3}}=[/tex]

[tex]=1:\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{2\left (cos \frac{\pi}{3}-cosx \right )}{x-\frac{\pi}{3}}=1:\lim_{x \to \frac{\pi}{3}}\frac{-4sin\left (\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2} \right )sin\left (\frac{\pi}{6}+\frac{x}{2} \right )}{-2\left (\frac{\pi}{6}-\frac{x}{2} \right )}=[/tex]
[tex]=0,5:sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
- с два пъти прилагане на основната граница
[tex]\lim_{\varphi \to 0}\frac{sin \varphi}{\varphi}=1[/tex]