Дискриминанти (известни още като джискриминанчи)

[Гост]

Вярно ли е, че ако [tex]|ax^{2}+bx+c|[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]|Ax^{2}+Bx+C|[/tex] за всички реални [tex]x[/tex], то [tex]|b^{2}-4ac|[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]|B^{2}-4AC|[/tex], където [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] са реални числа и [tex]a[/tex] [tex]\ne[/tex] [tex]0[/tex], [tex]A[/tex] [tex]\ne[/tex] [tex]0[/tex] ?

[Гост]

тва от тест за входно ниво ли е?

[Гост]

Вярно ли е, че ако [tex]|ax^{2}+bx+c|[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]|Ax^{2}+Bx+C|[/tex] за всички реални [tex]x[/tex], то [tex]|b^{2}-4ac|[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]|B^{2}-4AC|[/tex], където [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] са реални числа и [tex]a[/tex] [tex]\ne[/tex] [tex]0[/tex], [tex]A[/tex] [tex]\ne[/tex] [tex]0[/tex] ?

Понеже става въпрос за абсолютни стойности, можем да приемем, че [tex]\boxed{a > 0}[/tex], [tex]\boxed{A>0}[/tex], без това да нарушава общия характер на задачата. Когато [tex]x[/tex] клони към безкрайност, имаме:

[tex]\lim_{x \to \infty}|a+bx^{-1}+cx^{-2}|\le \lim_{x \to \infty}|A+Bx^{-1}+Cx^{-2}|\Rightarrow \boxed{a\le A}[/tex]

Ако [tex]\boxed{D\ge 0}[/tex], [tex]Ax^{2}+Bx+C[/tex] има реални нули [tex]x_{2 }\ge x_{1 }[/tex], [tex]x_{2 }-x_{1 }=\frac{\sqrt{D}}{A}[/tex].

Понеже [tex]|ax^{2}+bx+c|\le |Ax^{2}+Bx+C|[/tex], [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] са нули и на [tex]ax^{2}+bx+c[/tex] [tex](|y|\le 0 \Leftrightarrow y=0)[/tex].

Тогава [tex]\frac{\sqrt{d}}{a}=x_{2 }-x_{1 }=\frac{\sqrt{D}}{A}\Rightarrow \sqrt{d}=\frac{a\sqrt{D}}{A}\le \sqrt{D}\Rightarrow \boxed{d\le D}[/tex]

Ако [tex]\boxed{D<0}[/tex] и [tex]\boxed{d>0}[/tex],

[tex]0<Ax^{2}+Bx+C\Rightarrow |ax^{2}+bx+c|\le |Ax^{2}+Bx+C|=Ax^{2}+Bx+C\Rightarrow \pm(ax^{2}+bx+c)\le Ax^{2}+Bx+C\Rightarrow

(A\pm a)x^{2}+(B\pm b)x+(C\pm c)\ge 0\Rightarrow (B\pm b)^{2}-4(A\pm a)(C\pm c)\le 0\Rightarrow (B^{2}-4AC)+(b^{2}-4ac)\le \pm(-2Bb+4Ac+4aC)[/tex]

Понеже едно от двете [tex]\pm(-2Bb+4Ac+4aC)[/tex] е [tex]\le 0[/tex], имаме [tex]D+d\le 0 \Rightarrow d=\boxed{|d|\le |D|}[/tex].

Ако [tex]\boxed{D<0}[/tex] и [tex]\boxed{d<0}[/tex], [tex]0<ax^{2}+bx+c\le Ax^{2}+Bx+C\Rightarrow min (ax^{2}+bx+c)\le min (Ax^{2}+Bx+C)[/tex]

[tex]min (ax^{2}+bx+c)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{-d}{4a}[/tex]

Тогава [tex]\frac{|d|}{4a}=\frac{-d}{4a}\le \frac{-D}{4A}=\frac{|D|}{4a}\Rightarrow |d|\le \frac{a}{A}|D|\le |D|[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] твърдението е вярно.