Успоредник

[aveei]

Даден е успоредника ABCD, на който диагоналите се пресичат в т. O.Точките М и N са медицентровете, съответно на триъгълниците BOC и AOB.Да се докаже, че правите MN и AC са успоредни.

[S.B.]

Даден е успоредника ABCD, на който диагоналите се пресичат в т. O.Точките М и N са медицентровете, съответно на триъгълниците BOC и AOB.Да се докаже, че правите MN и AC са успоредни.

Построявам медианите [tex]BP[/tex] и [tex]BQ[/tex] съответно в [tex]\triangle BOC[/tex] и [tex]\triangle AOB[/tex] като [tex]P \in OC , Q \in AO[/tex] ;
За дадените по условие медицентрове е изпълнено [tex]M \in BP[/tex] и [tex]N \in BQ[/tex]
От свойството на медицентъра имаме [tex]\frac{NB}{NQ} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{NB}{BQ} = \frac{2}{3}[/tex] и [tex]\frac{MB}{MP} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{MB}{BP} = \frac{2}{3}[/tex]
От [tex]\frac{NB}{BQ} = \frac{MB}{BP} = \frac{2}{3}[/tex] и [tex]\angle PBQ = \angle MBN \Rightarrow \triangle PBQ \approx \triangle MBN[/tex] (по 2 признак)
[tex]\Rightarrow \angle BMN = \angle BPQ[/tex].
Но тези ъгли са съответни при пресичането на правите [tex]AC[/tex] и [tex]MN[/tex] с правата [tex]BP[/tex]
[tex]\Rightarrow MN[/tex] II [tex]AC[/tex]