Граница

[Гост]

Здр, трябва ми разяснение за доказването на тази задача, неравенството на Бернули го разбирам но от там нататък не ми е ясно

[Davids]

Понеже $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, то $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to +\infty} a^{\frac{1}{n}} = a^0 = 1$

[Гост]

Може ли да покажете с неравенство на Бернули

[Добромир Глухаров]

$a_n=\sqrt[n]{n}=1+\lambda\Rightarrow n=(1+\lambda)^n=1+n\lambda+\frac{n(n-1)}{2}\lambda^2+\cdots+{n\choose k}\lambda^k+\cdots+\lambda^n$ - Нютонов бином. Всички събираеми са положителни.

Сега, ако използваме Неравенство на Бернули, получаваме $n>1+n\lambda\Rightarrow\lambda<\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}\to1$, което е вярно, но не ни върши много работа.

Затова използваме третия член на Нютоновия бином. $n>\frac{n(n-1)}{2}\lambda^2\Rightarrow2>(n-1)\lambda^2\Rightarrow\lambda^2<\frac{2}{n-1}$. Тук виждаме, че с растенето на $n$ $\lambda$ може да стане колкото искаме близко до нулата.

[Добромир Глухаров]

Здр, трябва ми разяснение за доказването на тази задача, неравенството на Бернули го разбирам но от там нататък не ми е ясно

$\sqrt[n]{a}=1+\lambda$

$a=(1+\lambda)^n\geq1+n\lambda\Rightarrow\lambda\leq\frac{a-1}{n}<\epsilon,\ за\ n>\frac{a-1}{\epsilon}$

Тук искаме да видим, можем ли да направим $1+\lambda$ произволно близко до числото едно, т.е. самото $\lambda$ произволно малко положително число. Виждаме, че ако $n>\frac{a-1}{\epsilon}$, то $n$ ще бъде достатъчно голямо, за да бъде $\lambda<\epsilon$. И така, колкото и малко положително епсилон да вземем, можем да намерим такива членове на редицата (с индекс $n>\frac{a-1}{\epsilon}$), очевидно безброй много, че за тях $\sqrt[n]{a}<1+\epsilon$. Това ще означава, че $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$