Ех тея вектори

[aveei]

Нека точките K, L, M, N са средите съответно на страните BC, CD, DE, EA на петоъгълника ABCDE, а P и Q са средите съответно на KM и LN.Докажете, че [tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]\vec{AB}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\vec{AB}=\vec{a};\vec{BC}=\vec{b};\vec{CD}=\vec{c};\vec{AE}=\vec{d}$

$\vec{AK}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b};\vec{AM}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{DE}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\frac{1}{2}(\vec{AE}-\vec{AD})=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\frac{1}{2}(\vec{d}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}))=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})$

$\vec{AP}=\frac{1}{2}(\vec{AK}+\vec{AM})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}))=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}(\vec{c}+\vec{d})$

$\vec{AL}=\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c};\vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{d}$

$\vec{AQ}=\frac{1}{2}(\vec{AL}+\vec{AN})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}+\frac{1}{4}\vec{d}$

$\vec{QP}=\vec{AP}-\vec{AQ}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}+\frac{1}{4}\vec{d}-(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}+\frac{1}{4}\vec{d})=\frac{1}{4}\vec{a}=\frac{1}{4}\vec{AB}$

[ева]

2 начин
[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\vec{QK}[/tex]+[tex]\vec{KP}[/tex] ; [tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\vec{QB}[/tex]+[tex]\vec{BK}[/tex]+[tex]\frac{\vec{KM}}{2}[/tex] ;
[tex]\vec{QP}[/tex]= [tex]\vec{QN}[/tex]+[tex]\vec{NA}[/tex]+[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\frac{\vec{BC}}{2}[/tex]+[tex]\frac{\vec{KC}+\vec{CD}+\vec{DM}}{2}[/tex]

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{\vec{LN}}{2}[/tex]+[tex]\frac{\vec{EA}}{2}[/tex]+[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\frac{\vec{BC}}{2}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\frac{\vec{BC}}{2}[/tex]+[tex]\vec{CD}[/tex]+[tex]\frac{\vec{DE}}{2}[/tex])

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{\vec{LD}+\vec{DE}+\vec{EN}}{2}[/tex]+[tex]\frac{\vec{EA}}{2}[/tex]+[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\frac{3\vec{BC}}{4}[/tex]+[tex]\frac{\vec{CD}}{2}[/tex]+[tex]\frac{\vec{DE}}{4}[/tex]

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{\vec{CD}}{4}[/tex]+[tex]\frac{\vec{DE}}{2}[/tex]+[tex]\frac{\vec{EA}}{4}[/tex]+[tex]\frac{\vec{EA}}{2}[/tex]+[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\frac{3\vec{BC}}{4}[/tex]+[tex]\frac{\vec{CD}}{2}[/tex]+[tex]\frac{\vec{DE}}{4}[/tex]

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{4\vec{AB}+3\vec{BC}+3\vec{CD}+3\vec{DE}+3\vec{EA}}{4}[/tex]

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{3(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{EA})+\vec{AB}}{4}[/tex]

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{3\vec{AA}+\vec{AB}}{4}[/tex]=[tex]\frac{3.0+\vec{AB}}{4}[/tex]

[tex]\vec{QP}[/tex]=[tex]\frac{\vec{AB}}{4}[/tex]