Редица

[Гост]

Решение като за човек, който е по-назад с материала

[ptj]

Докажи, че редицата е монотонно намаляваща ( подточка б.) ). Тя очевидно е само от положителни членове, сл. е ограничена отдолу от 0-лата.

Има теорема гласяща: Всяка мононотонна и ограничена редица е сходяща.

Последно : ако [tex]l[/tex] e границата на редицата може да извършим граничен преход във формулата за общия член:

[tex]l=\sqrt[3]{3l+2}[/tex]

[tex]l^3-3l-2=0[/tex]

[tex](l-2)(l+1)^2=0[/tex]

Понеже [tex]l\ge0[/tex] (редицата е ограничена отдолу от 0), то [tex]l=2[/tex].

Редицата е строго намаляваща с граница 2, а тя очевидно не се достига (няма два равни члена на редицата), т.е. [tex]а_n>2[/tex].

[Davids]

Номерът става и по метода на ПМИ
а) за $n = 1$, ясно. Допускаме, че за $n = k$ имаме $a_k > 2$ и оттам лесно доказваме, че за всяко $n = k+1$ е вярно:
$a_{k + 1} = \sqrt[3]{3a_k + 2} > \sqrt[3]{3.2 + 2} = 2$, следователно $a_{k + 1} > 2$ също и с това индукцията е завършена.

б) аналогично е вярно за $n = 1$. Допускаме за $n = k$, че $a_k > a_{k + 1}$. Тогава за $n = k + 1$ трябва да докажем
$a_{k + 1} > \sqrt[3]{3a_{k + 1} + 2}$
Ако положим (за по-лесно) $x = a_{k + 1}$, то ще получим неравенството
$x^3 - 3x - 2 > 0$
$(x + 1)^2(x - 2) > 0$
което е вярно за всяко $x > 2$, което доказахме в първата подточка

[Гост]

Благодаря за бързите отговори
ptj защо l е граница и формулата за общия член не е ли различна ? Имам предвид а(n+1) защо е равно на a(n)

[ptj]

След като сме сигурни в съществуването на границата (от спомената теорема) може да запишем:
[tex]\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=l[/tex]

Граничния преход в формулата за общия член се записва :

[tex]\lim_{n \to \infty}а_n=\sqrt[3]{3(\lim_{n \to \infty}а_{n+1})+2}[/tex]

или [tex]l=\sqrt[3]{3l+2}[/tex]

[Гост]

Тоест може ли да си добавяме колкото искаме членове a(n+1) a(n+2) без да се променя границата ?