Комплексно число

[aveei]

Да се запише в алгебричен вид числото:

(4+4i√3/-4+4i√3)^253

[Добромир Глухаров]

$a=\frac{4+4i\sqrt{3}}{-4+4i\sqrt{3}}=\frac{1+i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}}=\frac{(1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})}{(-1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})}=\frac{-1+3-2i\sqrt{3}}{1+3}=\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-2i\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=-\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^3=-\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})\cdot\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})=-\frac{1}{4}(1+3)=-1$

$a^{253}=a^{3.84+1}=(a^3)^{84}.a=(-1)^{84}.a=a=\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$