Граница (4)

[Гост]

Да се намери границата на редицата

[Гост]

[tex]\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1^k + 2^k + \cdots + n^k}{n^{k+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{n^k \cdot n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0[/tex]

Тук изнесохме [tex]n^{k}[/tex] пред скоби и използвахме, че получените дроби в скобите клонят към нула, защото [tex]k[/tex] е естествено число.

[Гост]

Нещо се бъркаш , не може да е толкова лесно
Отговорът е 1/k+1

[pal702004]

Не мисля, че това е задача за домашно в училище. Сумата на $k$-тите степени на пьрвите $n$ естествени числа е полином от $k+1$ степен сьс старши коефициент $\frac{1}{k+1}$. В тази тема може да намериш нещо полезно.

[Добромир Глухаров]

$a_n=\frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\frac{b_n}{c_n}$

$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n=\infty\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^k+{k\choose1}n^{k-1}+{k\choose2}n^{k-2}+\cdots+{k\choose{k-1}}n+1}{{{k+1}\choose1}n^k+{{k+1}\choose2}n^{k-1}+\cdots+{{k+1}\choose k}n+1}=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1+{k\choose1}\cdot\frac{1}{n}+{k\choose2}\cdot\frac{1}{n^2}+\cdots+{k\choose{k-1}}\frac{1}{n^{k-1}}+\frac{1}{n^k}}{(k+1)+{{k+1}\choose2}\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n^k}}=\\=\frac{1+0+0+\cdots+0}{k+1+0+\cdots+0}=\frac{1}{k+1}$