Симетрална равнина.

[Гост]

Тези две задачи, ме затрудняват, ако някой помогне, ще бъде супер.
Дадена е отсечка AB и права a. Намерете точка M, Mz a, MA=MB. Когат съществува такава точка.
Много ми трудно да си го представя това. В отговора пише: Ако правата не е успоредна на симетралната равнина на AB.
Аз доколкото успях да направя чертеж, според мен, ако [tex]M\in \sigma[/tex], то [tex]MA=MB[/tex], а ако [tex]M\notin \sigma[/tex], то [tex]MA\neMB[/tex]
Втората задача:
Даден е триъгълник ABC
а)Докажете, че пресечницата на симтралните равнини на AB и BC е перпендикулярна на (ABC)
б)Докажете, че симетралните равнини на страните на триъгълника се пресичат в една права [tex]s[/tex]
в)Докажете, че ако [tex]Xz s[/tex], то XA=XB=XC

[KOPMOPAH]

Ако правата е успоредна на симетралната равнина на $AB$, то тя никога няма да я пресече. По определение всяка точка от симетралната равнина е равноотдалечена от краищата на отсечката. Значи точката на пресичане на правата със симетралната равнина е търсената точка $M$, защото хем е равноотдалечена, т.е. $MA=MB$, хем принадлежи на правата.

При втората задача трябва да съобразиш:
а) и двете симетрални равнини са перпендикулярни на равнината $(ABC)$, откъдето и пресечницата им също е перпендикулярна на $(ABC)$;
б) и в) се доказват, като се има предвид, че всяка точка от пресечницата е равноотдалечена от трите върха (помисли защо)

[Гост]

а) и двете симетрални равнини са перпендикулярни на равнината $(ABC)$ Това как го знаем?

[inveidar]

а) и двете симетрални равнини са перпендикулярни на равнината $(ABC)$ Това как го знаем?

АВ е перпендикулярна на симетралната си равнина и тогава всяка равнина, която минава през АВ също е перпендикулярна на симетралната равнина - теорема, т.е равнината АВС е перпендикулярна на симетралната равнина на АВ. Аналогично и за другата.

[Гост]

а) и двете симетрални равнини са перпендикулярни на равнината $(ABC)$ Това как го знаем?

АВ е перпендикулярна на симетралната си равнина и тогава всяка равнина, която минава през АВ също е перпендикулярна на симетралната равнина - теорема, т.е равнината АВС е перпендикулярна на симетралната равнина на АВ. Аналогично и за другата.

Логично е ,да но понеже такава теорема няма досека в уроците, но след като написахте това, аз потърсих по-напреде и се оказа, че е сложена тази теорема 2,3 урока напреде. Мозъците не са го измислили...

[Гост]

Окей, горе долу вече ми става ясно.
Първо към съвета ви (помисли, защо)
Ако имаме отсечка AB и [tex]\sigma[/tex], [tex]O\in AB, AO=OB[/tex] нейната симетрална равнина.
Имаме точка M, такава, че MA=MB, то от равнобедрения [tex]\triangle ABM \Rightarrow MO\bot AB[/tex] И тъй като равнината през M перпендикулярна на AB, сърдъжа точката O и е единствена, то тя е точно тази равнина [tex]\sigma \Rightarrow M\in \sigma[/tex], ако MA=MB.
Ако имаме точка [tex]N\in \sigma \Rightarrow NO\bot AB[/tex], защото щом [tex]AB\bot \sigma[/tex], то всяка права от [tex]\sigma[/tex] е перпендикулярна на [tex]AB[/tex] и [tex]AO=OB \Rightarrow \triangle ABN[/tex] e равнобедрен [tex]\Rightarrow AN=NB[/tex], ако [tex]N\in \sigma[/tex]
Сега към втората задача, нямам и на идея как да опиша доказателствата на подточки а) и б), но за в):
[tex]X\in s=\sigma_{AB}\cap\sigma_{BC}\cap\sigma_{AC} \Rightarrow X\in \sigma_{AB} \Rightarrow XA=XB[/tex]
[tex]X\in\sigma_{BC} \Rightarrow XB=XC[/tex]
[tex]X\in\sigma_{AC} \Rightarrow XA=XC[/tex]
[tex]XA=XB=XC[/tex]
Ако някой ми напише как математически да докажа а) и б) топ е!.

[Гост]

Окей, още малко прогрес имам.
Понеже, [tex]\sigma_{AB}\bot (ABC)[/tex] и [tex]\sigma_{BC}\bot (ABC) и [tex]S_{AB}\cap S_{BC}[/tex] и [tex]S_{AB}\in \sigma_{AB}[/tex] [tex]S_{BC} \in \sigma_{BC}[/tex] значи и [tex]\sigma_{AB}\cap\sigma_{BC}=s[/tex], която лежи и в двете равнини, перпендикулярни на [tex](ABC)[/tex], следователно [tex]s\bot (ABC)[/tex]
б)[tex]S_{AB}\cap S_{BC}\cap S_{AC}=\Rightarrow \sigma_{AB}\cap\sigma_{BC}\cap\sigma_{AC}=s[/tex].
Това доказателство пълно ли е?

[inveidar]

Логично е ,да но понеже такава теорема няма досека в уроците, но след като написахте това, аз потърсих по-напреде и се оказа, че е сложена тази теорема 2,3 урока напреде. Мозъците не са го измислили...

Чакай сега. Щом не сте го учили, трябва да го докажем по друг начин. Аз си помислих, че сте студент.
Значи симетралната равнина на АВ пресича равнината АВС в симетралата на АВ. Аналогично, симетралната равнина на ВС пресича равнината на АВС в симетралата на ВС. Симетралите на триъгълника АВС имат обща точка О и тя е център на описаната около него окръжност. Така получихме, че двете симетрални равнини имат обща точка О, а следователно и обща права през тази точка. Тази обща права не може да лежи в АВС, защото тогава ще излезе, че симетралните равнини съвпадат с АВС, или съвпадат помежду си, което е невъзможно, защото симетралите на АВ и ВС не съвпадат. Така те имат обща пресечница през О, която е перпендикулярна на АВ(АВ е перпендикулярна на симетралната равнина, следователно и на всяка права от нея!) и на ВС. Готово!

[Гост]

Логично е ,да но понеже такава теорема няма досека в уроците, но след като написахте това, аз потърсих по-напреде и се оказа, че е сложена тази теорема 2,3 урока напреде. Мозъците не са го измислили...

Чакай сега. Щом не сте го учили, трябва да го докажем по друг начин. Аз си помислих, че сте студент.
Значи симетралната равнина на АВ пресича равнината АВС в симетралата на АВ. Аналогично, симетралната равнина на ВС пресича равнината на АВС в симетралата на ВС. Симетралите на триъгълника АВС имат обща точка О и тя е център на описаната около него окръжност. Така получихме, че двете симетрални равнини имат обща точка О, а следователно и обща права през тази точка. Тази обща права не може да лежи в АВС, защото тогава ще излезе, че симетралните равнини съвпадат с АВС, или съвпадат помежду си, което е невъзможно, защото симетралите на АВ и ВС не съвпадат. Така те имат обща пресечница през О, която е перпендикулярна на АВ(АВ е перпендикулярна на симетралната равнина, следователно и на всяка права от нея!) и на ВС. Готово!

Евала, супер сте.

[inveidar]

For me that is enough!