Търси се:отношението на височините в пресечен конус

[Гост]

Задачата е следната:Сечение, успоредно на основата на конус, дели околната повърхнина на две равни частни. В какво отношение това сечение дели основата.

[S.B.]

Задачата е следната:Сечение, успоредно на основата на конус, дели околната повърхнина на две равни частни. В какво отношение това сечение дели основата.

Щом сечението е успоредно на основата как може да я дели в някакво отношение? И за какъв конус става въпрос?Според заглавието е пресечен??? Какъвто и да е той има само една височина,а в заглавието пише "височините"!

[KOPMOPAH]

Най-вероятно, задачата е формулирана така:
Сечение, успоредно на основата на прав кръгов конус, дели околната му повърхнина на две равнолицеви части. В какво отношение това сечение дели височината на конуса?

За мераклии бих модифицирал така:
Сечение, успоредно на основите на прав кръгов пресечен конус, дели пълната му повърхнина на две равнолицеви части. В какво отношение това сечение дели височината на конуса?

[S.B.]

Най-вероятно, задачата е формулирана така:
Сечение, успоредно на основата на прав кръгов конус, дели околната му повърхнина на две равнолицеви части. В какво отношение това сечение дели височината на конуса?

За сега ще се разпиша задачата,която не е за "мераклии",а после ако не се появи някой "мераклия" може да се пробвам и на задачата за "мераклии"
Нека осното сечение на конуса,което е равнобедрен триъгълник означим с [tex]ABC[/tex],където [tex]CH \bot AB[/tex] е височината на конуса;Успоредното на основата сечение ,което разполовява околната повърхнина на конуса е [tex]A_{1 }B_{1 }[/tex], като [tex]A_{1 } \in AC , B_{1 } \in BC ,A_{1 }B_{1 } \cap CH = M[/tex] и [tex]AB[/tex] II [tex]A_{1 }B_{1 }[/tex]
Това сечение разделя конуса на две тела:конус с осно сечение [tex]A_{1 }B_{1 }C[/tex] и пресечен конус с осно сечение [tex]ABB_{1 }A_{1 }[/tex]
За по - кратко ще означим :[tex]CM = h_{1 } , HM = h_{2 } , HB = r , MB_{1 } = r_{1 } , BC = l , B_{1 }C = l_{1 }[/tex]
[tex]\triangle HBC \approx \triangle MB_{1 }C \Rightarrow \frac{HC}{MC} = \frac{HB}{MB_{1 }}[/tex] или [tex]\frac{h_{1 } + h_{2 }}{h_{1 }} = \frac{r}{r_{1 }} \Leftrightarrow 1 + \frac{h_{2 }}{h_{1 }} = \frac{r}{r_{1 }}[/tex] от където [tex]\frac{h_{2 }}{h_{1 }} = \frac{r}{r_{1 }} - 1[/tex]
Kонуса с осно сечение [tex]ABC[/tex] има околна повърхнина :[tex]S_{ABC } = \pi.r.l[/tex]
Конуса с осно сечение [tex]A_{1 }B_{1 }C[/tex] има околна повърхнина :[tex]S_{A_{1 }B_{1 }C } = \pi.r_{1 }.l_{1 }[/tex]
По условие [tex]\pi.r.l = 2.\pi.r_{1 }.l_{1 } \Rightarrow \frac{r.l}{r_{1 }.l_{1 }} = 2 \Leftrightarrow \frac{r}{r_{1 }}. \frac{l}{l_{1 }} = 2[/tex]
От [tex]\triangle HBC \approx \triangle MB_{1 }C \Rightarrow \frac{HB}{MB_{1 }} = \frac{BC}{B_{1 }C}[/tex] или [tex]\frac{r}{r_{1 }} = \frac{l}{l_{1 }}[/tex]
Следователно [tex](\frac{r}{r_{1 }})^{2} =2 \Rightarrow \frac{r}{r_{1 }} = \sqrt{2}[/tex]
И тогава [tex]\frac{h_{2 }}{h_{1 }} = \frac{r}{r_{1 }} - 1 = \sqrt{2} - 1[/tex]