Граница (5)

[Гост]

Не разбирам доказателството по сборниците, възможно ли е да ми предложите по-разбираемо решение

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме два случая.
Първо - нека [tex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/tex] - оставяме го на Вас.
Второ - нека [tex]a\ne 0[/tex]

Нека за определеност сходящата редица [tex]\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty[/tex] е с положителна граница [tex]a[/tex].
Всяка сходяща редица е ограничена.
Тогава съществува положителна константа [tex]C[/tex] със свойството: [tex]\forall n,[/tex] [tex]n \in \mathbb{N}[/tex][tex]\,\ \Rightarrow a_n>C \,\ (\ast)[/tex]

Следователно всяко от числата [tex]\sqrt[k]{a_n}, \sqrt[k]{a_n^2}, \sqrt[k]{a_n^3}, ... , \sqrt[k]{a_n^{k-1}}[/tex] е по-голямо от [tex]C \,\ (\ast \ast )[/tex]
Образуваме [tex]\left | \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a} \right |[/tex]
и преобразуваме
[tex]\left | \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a} \right |=\frac{\left | a_n-a \right |}{\left | \left (\sqrt[k]{a_n} \right )^{k-1}+\left ( \sqrt[k]{a_n} \right )^{k-1}a+...+a^{k-1}\right |}[/tex]
Като заместим всяко от събираемите в знаменателя на дясната страна, тя (дясната страна) се увеличава и получаваме оценката
[tex]\left | \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a} \right |<\frac{\left | a_n-a \right |}{kC} \,\ (4)[/tex]
От
Да се върнем на определението
[tex]\lim_{n \to \infty}a_n=a[/tex], то [tex]\forall \varepsilon_1>0[/tex] [tex]\exists N_1\in \mathbb{N}[/tex] [tex]\forall n>N_1 \,\ \Rightarrow \,\ \left | a_n-a \right |<\varepsilon_1[/tex] [tex](\ast \ast \ast)[/tex]

Прилагаме определението за редицата [tex]\left \{\sqrt[k]{a_n} \right \}_{n=1}^\infty[/tex]
[tex]\forall \varepsilon>0[/tex] [tex]\exists n_0\in \mathbb{N}[/tex] [tex]\forall n>n_0 \,\ \Rightarrow \,\ \left | \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a} \right |<\varepsilon[/tex] - очевидно при [tex]\varepsilon>\frac{\varepsilon_1}{kC};[/tex]
При [tex]\varepsilon<\frac{\varepsilon_1}{kC}[/tex]
се връщаме на определението [tex](\ast \ast \ast)[/tex]
Смисълът на определението е в произволността на избора на [tex]\varepsilon_1[/tex].
Сега ще подберем още по-малко [tex]\varepsilon_1[/tex], ще го наречем [tex]\varepsilon'_1>0[/tex], със свойството [tex]\frac{\varepsilon'_1}{kC}<\varepsilon[/tex]
От [tex](\ast \ast \ast)[/tex] следва
[tex]\left | a_n-a \right |<\varepsilon'_1<kC\varepsilon[/tex]
Като заместим в оценката [tex](4)[/tex]
получаваме [tex]\left | \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a} \right |<\frac{\left | a_n-a \right |}{kC} <\varepsilon[/tex],
с което доказателството е завършено, т.е. [tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{a}[/tex]
____________
[tex](\ast )[/tex] означава още, че [tex]a\ge C[/tex]
____________
В определението и "тенис мача" между [tex]\varepsilon_1[/tex] и [tex]\varepsilon[/tex] използваме така нареченият Принцип за непрекъснатост на реалните числа: Всяко непразно, ограничено отдолу множество от реални числа, притежава точна долна граница (– infimum).
____________
Като погледнах назад, не се възхитих от това доказателство. Навярно е още по-сложно от това, което имахте предвид.

Не разбирам доказателството по сборниците, възможно ли е да ми предложите по-разбираемо решение ...