Уравнение и неравенство

[Гост]

1 зад. arccos2x = arctg5x
2 зад. arctg7x < arcsin2x

[ptj]

Нека [tex]y=arccos(2x)=arctg(5x)[/tex].
От дефиницията на двете функции имаме: [tex](y\in[0;\pi])\cap(y\in R)= y\in [0;\pi][/tex].

[tex]cos(y)=2x[/tex]
[tex]tg(y)=5x[/tex]
[tex]sin(y)={tg(y)}.{cos(y)}=10x^2[/tex]

[tex]sin^2(y)+cos^2(y)=1[/tex]

[tex](10x^2)^2+(2x)^2=1[/tex]

[tex]100x^4+4x^2-1=0[/tex]

[tex]x^2=\frac{-1+\sqrt{13}}{50}[/tex]

[tex]x=\frac{\sqrt{-1+\sqrt{13}}}{5\sqrt{2}}[/tex]


Другата аналогично.

[Гост]

Д.М на arctg е (-pi/2 ; pi/2)
Неравенството не успявам да го реша

[ptj]

Д.М на arctg е (-pi/2 ; pi/2)
Неравенството не успявам да го реша

Дa, прав си за Д.М. Крайното ограничение се получава [tex]x\in[0;\frac{\pi}{2}][/tex], а получения отговор принадлежи на дадения интервал.

Второто го реши първо като уравнение, а после виж дали търсения знак е между или извън корените, като не забрявяй евентуалните ограничения от ДМ.

[Гост]

... "а после виж дали търсения знак е между или извън корените" ...
Как да разбера кой е знака между интервалите

[ptj]

Прехвърли всичко от едната страна на неравенството, а после вземи кое да е число от интервала.

По-строгата обосновка на горното се дължи на факта, че разглеждаш непрекъснати функции (в някой затворен интервал) и знаеш техните нули.
Т.е. няма как те да сменят знака си, ако не минат някъде през нулата.

Горното е следствие от Теоремата на Болцано-Ваерщрассе за междинната стойност.

[Гост]

Може ли решение или отговор за проверка да се убедя че е вярно

[ptj]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=arctg7x+%3C+arcsin2x

[Гост]

Мерси много