Граница

[Гост]

Да се док.

[Петър Евгениев]

[tex]\lim_{n\to \infty} \prod_{v=2}^{\infty}(1-\frac{1}{1+2+...+v})=\prod_{v=2}^{\infty}(1-\frac{2}{v+2})=\prod_{v=2}^{\infty}(\frac{v}{v+2})[/tex]
Сега трябва да покажеш, че всичко се съкращава без една тройка в знаменателя.
$$\prod_{v=2}^{\infty}(\frac{v}{v+2})=\frac{2}{4}.\frac{3}{5}.\frac{4}{6}.\frac{5}{7}.\frac{6}{8}.\frac{7}{9}.\frac{8}{10}.\frac{9}{11}.\frac{10}{12}...$$
Виж какво бих направил аз.
Разглеждам нечетните множители демек първия, втория , третия и т.н.
$$\frac{2}{4}.\frac{4}{6}.\frac{6}{8}.\frac{8}{10}.\frac{10}{12}...$$
Ако започнеш да съкращаваш всяка дроб отделно става:
$$\frac{1}{\cancel{2}}.\frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}.\frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}.\frac{\cancel{4}}{\cancel{5}}.\frac{\cancel{5}}{\cancel{6}}...$$
Както виждаш от нечетните множители остава само едно. Демек всичко се съкращава.
Сега подхващам четните множители. Втория, четвъртия и така..
$$\frac{3}{\cancel{5}}.\frac{\cancel{5}}{\cancel{7}}.\frac{\cancel{7}}{\cancel{9}}.\frac{\cancel{9}}{\cancel{11}}....$$
Търсеното произведениет е произведението на четните и нечетните, ама аз получавам, че е 3?
eddit: грешката беше, че трябва да бъде [tex]\prod_{v=2}^{\infty}\frac{v-1}{v+1}[/tex] идеята е същата.
$$\prod_{v=2}^{\infty}\frac{v-1}{v+1}=\frac{1}{3}.\frac{2}{4}.\frac{3}{5}.\frac{4}{6}.\frac{5}{7}.\frac{6}{8}...$$
Нещо пак не получавам това дето трябва. Оставям така, някой съвестен математик ще ме поправи.

[Гост]

С аритметична прогресия няма ли да стане?

[Добромир Глухаров]

$1+2+3+\cdots+\nu=\frac{\nu(\nu+1)}{2}\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\prod_{\nu=2}^n\left(1-\frac{1}{1+2+3+\cdots+\nu}\right)=$

$=\prod_{\nu=2}^{\infty}\left(1-\frac{2}{\nu(\nu+1)}\right)=\prod_{\nu=2}^{\infty}\frac{\nu^2+\nu-2}{\nu(\nu+1)}=\prod_{\nu=2}^{\infty}\frac{(\nu+2)(\nu-1)}{\nu(\nu+1)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1.4}{2.3}\cdot\frac{2.5}{3.4}\cdot\frac{3.6}{4.5}\cdot\frac{4.7}{5.6}\cdots\frac{(n-4)(n-1)}{(n-3)(n-2)}\cdot\frac{(n-3)n}{(n-2)(n-1)}\cdot\frac{(n-2)(n+1)}{(n-1)n}\cdot\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1.2.3.4^2.5^2.6^2\cdots(n-1)^2.n.(n+1)(n+2)}{2.3^2.4^2.5^2.6^2\cdots n^2(n+1)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{n+2}{n}=\frac{1}{3}$

[Петър Евгениев]

$1+2+3+\cdots+\nu=\frac{\nu(\nu+1)}{2}\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\prod_{\nu=2}^n\left(1-\frac{1}{1+2+3+\cdots+\nu}\right)=$

$=\prod_{\nu=2}^{\infty}\left(1-\frac{2}{\nu(\nu+1)}\right)=\prod_{\nu=2}^{\infty}\frac{\nu^2+\nu-2}{\nu(\nu+1)}=\prod_{\nu=2}^{\infty}\frac{(\nu+2)(\nu-1)}{\nu(\nu+1)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1.4}{2.3}\cdot\frac{2.5}{3.4}\cdot\frac{3.6}{4.5}\cdot\frac{4.7}{5.6}\cdots\frac{(n-4)(n-1)}{(n-3)(n-2)}\cdot\frac{(n-3)n}{(n-2)(n-1)}\cdot\frac{(n-2)(n+1)}{(n-1)n}\cdot\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1.2.3.4^2.5^2.6^2\cdots(n-1)^2.n.(n+1)(n+2)}{2.3^2.4^2.5^2.6^2\cdots n^2(n+1)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{n+2}{n}=\frac{1}{3}$

Сбъркал съм аритметичнатга прогресия хаха. Опс предполагам, беше късно.

[Добромир Глухаров]

Ако формулата за аритметична прогресия беше, каквато е предположил Петър Евгениев, за частичното произведение щеше да се получи:

$p_n=\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{6}{8}\cdots\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n}{n+2}=\frac{2.3}{(n+1)(n+2)}\to0$

Безкрайното произведение щеше да има стойност $0$, което може да се получи още така:

$\prod_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n+2}=\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n+2}\right)$

Сумата $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n+2}$ дивергира (редът е разходящ, понеже произхожда от хармоничния ред, който е разходящ). Т.е. сумата е безкрайност, следователно произведението е $0$, понеже в него членовете на сумата са със знак минус.