Ортогонална проекция на връх на пирамида

[Гост]

Здравейте. Не съм сигурен дали доказателството, което съм написал за тази задача е пълно.
Да се докаже, че ортогоналната проекция на върхъ на триъгълна пирамида, на която околните ръбове AD=BD=CD са равни е центъра на описаната около триъгълника окръжност ABC.
Нека пирамидата да е ABCD с връх D
[tex]пр_{(ABC)}D=D' \Rightarrow DD'\bot (ABC)[/tex]
От горното следва, че следните триъгълници са правоъгълни: [tex]\triangle CD'D, \triangle AD'D, \triangle BD'D[/tex]
Питагорови теореми за тях:
[tex]CD'^{2}=CD^{2}-DD'^{2}[/tex]
[tex]AD'^{2}=AD^{2}-DD'^{2}[/tex]
[tex]BD'^{2}=BD^{2}-DD'^{2}[/tex]
[tex]AD=CD=BD[/tex]
От тези неща следва, че [tex]AD'=BD'=CD'[/tex],
Сега това достатъчно ли е?

[123a]

Последното показва, че $D'$ е пресечна точка на симетралите, а ние знаем, че центъра на описаната около триъгълник окръжност е пресечна точка на симетралите.

[S.B.]

Здравейте. Не съм сигурен дали доказателството, което съм написал за тази задача е пълно.
Да се докаже, че ортогоналната проекция на върхъ на триъгълна пирамида, на която околните ръбове AD=BD=CD са равни е центъра на описаната около триъгълника окръжност ABC.
Нека пирамидата да е ABCD с връх D
[tex]пр_{(ABC)}D=D' \Rightarrow DD'\bot (ABC)[/tex]
От горното следва, че следните триъгълници са правоъгълни: [tex]\triangle CD'D, \triangle AD'D, \triangle BD'D[/tex]
Питагорови теореми за тях:
[tex]CD'^{2}=CD^{2}-DD'^{2}[/tex]
[tex]AD'^{2}=AD^{2}-DD'^{2}[/tex]
[tex]BD'^{2}=BD^{2}-DD'^{2}[/tex]
[tex]AD=CD=BD[/tex]
От тези неща следва, че [tex]AD'=BD'=CD'[/tex],
Сега това достатъчно ли е?

Мисля,че има излишни неща,като Питагор например. Ако 2 триъгълника са еднакви ,то съответните им елементи са равни.
Трябва да се насочиш към дефиницията за център на описана около триъгълник окръжност ,а именно,че той лежи на пресечната точка на симетралите на страните.Трябва да използваш свойството,което си учил в 7 клас, че ако една точка е равноотдалечена от краищата на отсечка,то тя лежи върху симетралата на отсечката.
Доказателство:
От това ,че [tex]\triangle ADD'\cong \triangle BDD'\cong \triangle CDD[/tex]'( по катет и хипотенуза) [tex]\Rightarrow AD'= BD'= CD' \Rightarrow т.D'\in S_{AB }, D'\in S_{BC } , D'\in S_{AC }[/tex] или т.[tex]D'[/tex] е пресечна точка на симетралите на страните на [tex]\triangle ABC[/tex] ,а знаеш,че пресечната точка на симетралите в триъгълника е център на описаната окръжност.

[ptj]

Може и по друг начин - щом два околни ръба са равни, то върха на пирамидата лежи в симетралната равнина на съответния основен ръб.
Т.е. реално върха (извън основата) лежи на пресечницата на две симетрални равнини (3-тата не ни трябва),а самата пресечница е перпендикулярна на основата (права перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнина е перпендикулярна на самата равнина).
Тогава нейния пробод е точно ортогоналната проекция на върха в равнината на основата, а от факта че лежи в симетрални равнини следва, че пробода е равно отдалечен от 3-те върха на основата.