Височини на пирамиди.

[Гост]

Правата [tex]m[/tex] минава през пресечната точка на диагоналите на квадрат [tex]ABCD[/tex] и е перпендикулярна на равнината на квадарата.
Докажете, че [tex]MA=MB=MC=MD[/tex] за всяка точка [tex]M[/tex] от [tex]m[/tex]
Лесно се доказва за точка [tex]M\in m[/tex] с еднакви триъгълници и съм го направил вече.
Въпроса е как да докажа, че това е вярно за всяка точка от правата [tex]M\in m[/tex].
Може би, защото [tex]пр_{ABCD}M=O[/tex], за всяка точка [tex]M\in m[/tex] ? (Защото ортогоналната проекция на права перпендикулярна на проекционната равнина е пробода)

Дадена е четириъгълна пирамида [tex]ABCDQ[/tex] с връх [tex]Q[/tex], като [tex]QA=QB=QC=QD[/tex].
Докажете, че ако [tex]O[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]Q[/tex] в равнината на основата, то [tex]OA=OB=OC=OD[/tex], т.е. четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност.
Моето доказателство(Моля кажете дали е коректно).
[tex]прQ=O , QO\bot (ABCD)[/tex]
[tex]прAQ=AO, прBQ=BO, прCQ=CO, прDQ=DO \Rightarrow AO\cap BO\cap CO\cap DO=O[/tex] като [tex]OQ\bot (ABCD)[/tex] Тоест след като спуснем височината на пирамидата и [tex]O[/tex] е петата на перпендикуляра, [tex]AO,BO,CO,DO[/tex] се пресичат точно в петата на перпендикуляра спуснат от върха на пирамидата.
Сега лесната част Понеже [tex]AQ=BQ=CQ=DQ[/tex] и [tex]OQ[/tex]-обща правите ъгли [tex]\angle AOD=\angle BOQ=\angle COQ=\angle DOQ=90^{\circ}[/tex]
[tex]\triangle AOQ\cong BOQ\cong COQ\cong DOQ[/tex] две равни страни и ъгъл срещу по-голямата
Значи и [tex]AO=BO=OC=DO[/tex]
Лесно се доказва от там и че това е квадрат т.е. може да се опише окръжност около него с център [tex]O[/tex]

[ptj]

За да не се чудиш за различните пирамиди - ето ти решение за произволна:

Да вземем произволна сфера. Ако я пресечем с равнина - сечението е окръжност, а отсечката свързаваща двата центъра ( на сферата и окръжността) е перпендилулярна на равнината.

П.П. Основата на пирамидата изобщо не е задължително да е правилен многоогълник. Може да се твърди само, че около нейните върхове може да се опише окръжност, а нейния център е проекция на върха извън основата.

-------------------------
Друг вариант е с решението за триъгълна пирамида (горното, казано по друг начин):

... щом два околни ръба са равни, то върха на пирамидата лежи в симетралната равнина на съответния основен ръб.
Т.е. реално върха (извън основата) лежи на пресечницата на две симетрални равнини (3-тата не ни трябва),а самата пресечница е перпендикулярна на основата (права перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнина е перпендикулярна на самата равнина).
Тогава нейния пробод е точно ортогоналната проекция на върха в равнината на основата, а от факта че лежи в симетрални равнини следва, че пробода е равно отдалечен от 3-те върха на основата.

Тогава около всеки 3 върха от основата може да се опише окръжност, т.е. тя е една и съща за всички върхове на основата (защо?).