Граници

[aveei]

Да се пресметнат границите:
[tex]\lim_{n \to ∞}\sqrt{n^{2}+1}-n[/tex]
[tex]\lim_{n \to ∞}\frac{(n+3)!+(n+2)!}{(n+3)!-(n+2)!}[/tex]
[tex]\lim_{n \to ∞}\frac{(n^{2}+7n+3)^{n}}{(n^{2}+5n+13)^{n}}[/tex]
[tex]\lim_{n \to ∞}\frac{7n^{4}+n^{2}3^{2n+1}+3}{n arctan(n{^5})+n^{2}3^{2n+1}+(n!)^{-2}}[/tex]

[KOPMOPAH]

$$\lim_{n \to ∞}\sqrt{n^{2}+1}-n=\lim_{n \to ∞}\frac{\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)\left(\sqrt{n^{2}+1}+n\right)}{\sqrt{n^{2}+1}+n}=\\=\lim_{n \to ∞}\frac{n^{2}+1-n^2}{\sqrt{n^{2}+1}+n}=\lim_{n \to ∞}\frac{1}{\infty}=0$$




$$\lim_{n \to ∞}\frac{(n+3)!+(n+2)!}{(n+3)!-(n+2)!}=\lim_{n \to ∞}\frac{(n+2)\left((n+3)+1\right)}{(n+2)\left((n+3)-1\right)}=\lim_{n \to ∞}\frac{\cancel{(n+2)}(n+4)}{\cancel{(n+2)}(n+2)}=\cdots=1$$

[Добромир Глухаров]

За четвъртата граница: изнесете от числитиля и знаменателя множители $n^23^{2n+1}$ и ги съкратете. После, като внесете оператора за граница в числител и знаменател и го приложите за всяко събираемо, получавате $\frac{0+1+0}{0+1+0}=1$.

[KOPMOPAH]

За трета задача се използва $$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac ax \right)^{bx}=e^{ab}$$