Доказателство

[Гост]

Да се докаже по метода на математическата индукция:
[tex]{n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^{n}[/tex]

[KOPMOPAH]

Когато може от формулата $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n }C^k_n.a^n.b^{n-k}$$ чрез полагане $a=1$, $b=1$ веднага да се получи желаното равенство, кому е хрумнало да използва индукция?

[MOPKOBKA]

Един мой любим учител казваше "Пази се от хора, за които е в сила - Защо да е просто, като може да е сложно!"

[Гост]

Показах ми това решение, но има ли изобщо факториел от отрицателно число?

[pal702004]

Решението се основава на факта, че

${n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}$

За да не възникват излишни въпроси, по-добре е първото и последното събираемо да не се разлагат по тази формула, да се запише

$={n+1 \choose 0}+\left[{n \choose 0}+{n \choose 1}\right]+\left[{n \choose 1}+{n \choose 2}\right]+\cdots+\left[{n \choose n-1}+{n \choose n}\right]+{n+1 \choose n+1}$

и да се използва това, че ${n+1 \choose 0}={n \choose 0}$ и ${n+1 \choose n+1}={n \choose n}$

откъдето всичко става ясно.