Тетраедър

[Гост]

Даден е тетраедър ABCD, като [tex]\vec{DA}=\vec{a}[/tex], [tex]\vec{DB}=\vec{b}[/tex] и [tex]\vec{DC}=\vec{c}[/tex]. |[tex]\vec{a}[/tex]|=2, |[tex]\vec{b}[/tex]|=2, |[tex]\vec{c}[/tex]|=1 и трите вектора са два по два перпендикулярни.H- петата на височината в тетраедъра ABCD, спусната от точка D.Да се изрази DH чрез [tex]\vec{a},\vec{b}, \vec{c}[/tex].

[Knowledge Greedy]

[tex]\vec{DH}=\frac{\sqrt{3}}{9}\vec{a}+\frac{\sqrt{3}}{9}\vec{b}+\frac{4\sqrt{3}}{9}\vec{c}[/tex]
За да получите този отговор са достатъчни:
Да въведете координати [tex]\vec{DH}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}[/tex]
- Да докажете [tex]DH_1\bot AB[/tex]. Умножете ортогоналната проекция [tex]\vec{DH_1}=x\vec{a}+y\vec{b}[/tex] на този вектор [tex](\vec{DH})[/tex], върху стената [tex](ABD)[/tex], по разликата [tex]( \vec {AB})[/tex] на дадените два вектора ([tex]\vec{b}[/tex] и [tex]\vec{a}[/tex]), компланарни на тази стена. Полученото скаларно произведение трябва да е нула.
- Да докажете [tex]DH_2\bot BC[/tex]. Умножете ортогоналната проекция [tex]\vec{DH_2}=y\vec{b}+z\vec{c}[/tex] на този вектор [tex](\vec{DH})[/tex], върху стената [tex](BCD)[/tex], по разликата [tex](\vec BC)[/tex] на дадените два вектора ([tex]\vec{b}[/tex] и [tex]\vec{c}[/tex]), компланарни на тази стена. Полученото скаларно произведение трябва да е нула.
- Да докажете [tex]DH_3\bot AC[/tex]. Умножете ортогоналната проекция [tex]\vec{DH_3}=x\vec{a}+z\vec{c}[/tex] на този вектор [tex](\vec{DH})[/tex], върху стената [tex](ACD)[/tex], по разликата [tex](\vec AC)[/tex] на дадените два вектора ([tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{c}[/tex]), компланарни на тази стена. Полученото скаларно произведение трябва да е нула.
...
Дотук сте открили посоката на [tex]\vec{DH}[/tex].
Остава да изясните дължината му.
- Това става примерно с изразяване обема на тетраедъра по два начина.
Единият - като [tex]S_{\triangle ABD} \times DA[/tex]
и втори - като [tex]S_{\triangle ABC} \times DH[/tex]

Ето част от сметките (проверка)...
[tex]\vec{DH_2}=\frac{\sqrt{3}}{9}\vec{b}+\frac{4\sqrt{3}}{9}\vec{c}[/tex]
е въпросната проекция на [tex]\vec{DH}[/tex] в равнината [tex](DBC)[/tex], умножаваме скаларно по [tex]\vec{BC}=\vec{c}-\vec{b}[/tex].
Резултатът е[tex]\frac{\sqrt{3}}{9}b^2-\frac{4\sqrt{3}}{9}b^2=0[/tex], защото [tex]\vec{b}^2=4[/tex] и [tex]\vec{c}^2=1[/tex], а [tex]\vec{b}\vec{c}=0[/tex] - т.к. [tex]\vec{b}\bot\vec{c}[/tex]
...
А дължината [tex]\left |\vec{DH} \right |=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex].
____________
При достатъчно стерео въображение човек може да напише и доста по-кратко решение.

[Гост]

Нямам никаква идея как да докаже нито едно от трите неща,a нататък като продължа със системата получавам от тази система:
[tex]\begin{array}{|l} (x\vec{a} + y\vec{b})(\vec{b}-\vec{a}) = 0 \\ (y\vec{b} + z\vec{c})(\vec{c}-\vec{b}) = 0 \\ (x\vec{a} + z\vec{c})(\vec{c}-\vec{a}) = 0 \end{array}[/tex]
Тази
[tex]\begin{array}{|l} -4x+4y=0 \\ -4y+4x=0\end{array}[/tex].
A нататък не ми стана ясно защо обема на тетраедъра е S△ABD×DA, като DA е от същата равнина.

[Гост]

Е ,хайде де -проявете малко разбиране!
Колегата е искал да каже очевидно [tex]V_{ABCD}=S_{ABD} \times DC[/tex]