Не получавам отговора

[Гост]

Имам въпрос как се получава n(n+1)/ 2 степента на -1 (аритметична прогресия? ) получавам (n+1)n ... и не трябва ли да е до xn - 1 произведението

[Гост]

Не разбирам и тук как става тази степен

[Добромир Глухаров]

Опитайте да приложите индукция по $n$.

[Kre4etalo]

Както предложи колегата Добромир Глухаров, най-директният начин е по индукция - развиваме последователно триъгълната детерминанта, която се получава, по последния ред, докато стигнем до детерминанта от ред $1$ (и винаги отчитаме степените на $-1$, които излизат от развиването, накрая получаваме сума от степени).
Тук, колега, и в двете задачи, се достига до триъгълна детерминанта, обаче спрямо вторичния диагонал. Ако имаме триъгълна спрямо главния - стойността ѝ е произведението на елементите по главния диагонал. Ако имаме спрямо вторичния - стойността ѝ е произведението на елементите по вторичния диагонал, но и нещо допълнително - множител $(-1)^{n(n-1)/2}$, където $n$ е размерността на матрицата. Защо се получава така. Ами такава детерминанта, триъгълна спрямо вторичния, може да се доведе до триъгълна спрямо главния след последователно разменяне на редове. Последният ред се разменя с всички над него и става първи ( $n-1$ разменяния), новият последен (старият предпоследен) се разменя със всички, с изключение на новия първи (старият последен) ($n-2$ разменяния), и така нататък, докато се стигне до първоначалния втори, които се разменя само с първоначалния първи и двата се озоват съответно на предпоследно и последно място ($1$ разменяне). Като си припомним, че размяната на два реда води до умножение с $-1$ на новата детерминанта, то тук ще имаме множител $(-1)^S$, където $S$ е броят на разменянията - $S=1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$.
Ако разменяме редове симетрично спрямо центъра, отново достигаме до триъгълна спрямо главния, а броят на размените са $\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor$. Това число, макар и различно от горното, когато е използвано за степен на $-1$ (защото така се променя стойността спрямо детерминанта) води до същия отговор.
И в двете задачи се използва това, но във втората отговорът е малко по различен понеже трябва да умножиш и с $(-1)^n$, заради минусите пред $b$-тата. Също така внимавай с редoвете на детерминантите.
А за първата - действително произведението трябва да включва и $(x_n-1)$.

[Гост]

А не може ли да развиваме по последния стълб винаги без да обръщаме диагонала така знака е (1+n) + (2+n-1) + (3 + n-2) .... (n+1) което е n пъти n+1 =? n(n+1) може ли да покажете къде бъркам

[Kre4etalo]

Това колега, е подобно на това, което предлага Добромир Глухаров. Но имай предвид, че като развиеш веднъж се получава детерминанта от по-нисък ред, т.е. в началото имаме знак $n+1$ ($n$-ти ред, първи стълб), след това $n-1+1$ ($n-1$-ви ред, понеже детерминантата вече е от ред $n-1$, първи стълб), след това $n-2+1$ и така нататък до $1+1$, общата сума е $\displaystyle 2+3+\cdots +(n+1)=\frac{n(n+3)}{2}$, което като използваме за степен на $-1$ ще даде същото, както ако използваме $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$, понеже двете се различават с $2n$ - четно число.

[Гост]

Доста полезна информация благодаря