Вектори

[aveei]

Дадени са векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex], като |[tex]\vec{a}[/tex]|=|[tex]\vec{b}[/tex]|=1. Нека [tex]\vec{OA}[/tex]=[tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{OB}[/tex]=([tex]\vec{a}[/tex]x[tex]\vec{b}[/tex]), [tex]\vec{OC}[/tex]=([tex]\vec{a}[/tex]x[tex]\vec{b}[/tex])x[tex]\vec{a}[/tex]. Нека точка M е медицентър на триъгълник ABC и |[tex]\vec{OM}[/tex]|=[tex]\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex].
а) Да се намери елементарно геометричния ъгъл между векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex].
б) Докажете, че векторите [tex]\vec{OA}[/tex], [tex]\vec{OB}[/tex] и [tex]\vec{OC}[/tex] са линейно независими.
в) Намерете обема на тетраедъра OABC

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]\vec{a}(1,0,0)[/tex]
[tex]\vec{b}(x,y,0)[/tex] (От условието [tex]\left | \vec{b} \right |=1 \,\ \Rightarrow \,\ x^2+y^2=1[/tex]).
[tex]\vec{a} \times \vec{b}(0,0,y)[/tex]
[tex](\vec{a} \times \vec{b})\times \vec{a} (0,-y,0)[/tex]
Дотук получихме:
[tex]\vec{OA}(1,0,0)[/tex]
[tex]\vec{OB}(0,0,y)[/tex]
[tex]\vec{OC}(0,-y,0)[/tex]
Понеже [tex]\vec{OM}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex]
следва [tex]\vec{OM}\left (\frac{1}{3};\frac{-y}{3};\frac{y}{3} \right )[/tex]
А тъй като [tex]\left |\vec{OM} \right |=\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex]
то [tex]y=\pm 1[/tex]
Оттук и първото условие следва [tex]x=0[/tex]
в) Детерминантата [tex]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 0 & y \\
0 & -y & 0
\end{vmatrix}\ne 0[/tex]
следователно векторите [tex]\vec{OA}, \vec{OB} \,\ и \,\ \vec{OC}[/tex] са линейно независими.

а) Нека [tex]\varphi = \angle (\vec{a},\vec{b})[/tex].
С помощта на скаларно произведение намираме [tex]cos\gamma =x=0[/tex], ъгълът е [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
б) Пресмятаме детерминантата, взимаме една шеста от модула и получаваме обема.

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]\vec{a}(1,0,0)[/tex]
[tex]\vec{b}(x,y,0)[/tex] (От условието [tex]\left | \vec{b} \right |=1 \,\ \Rightarrow \,\ x^2+y^2=1[/tex]).
[tex]\vec{a} \times \vec{b}(0,0,y)[/tex]
[tex](\vec{a} \times \vec{b})\times \vec{a} (0,-y,0)[/tex]
Дотук получихме:
[tex]\vec{OA}(1,0,0)[/tex]
[tex]\vec{OB}(0,0,y)[/tex]
[tex]\vec{OC}(0,-y,0)[/tex]
Понеже [tex]\vec{OM}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex]
следва [tex]\vec{OM}\left (\frac{1}{3};\frac{-y}{3};\frac{y}{3} \right )[/tex]
А тъй като [tex]\left |\vec{OM} \right |=\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex]
то [tex]y=\pm 1[/tex]
Оттук и първото условие следва [tex]x=0[/tex]
в) Детерминантата [tex]\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0& 0 & y \\
0 & -y & 0
\end{vmatrix}\ne 0[/tex]
следователно векторите [tex]\vec{OA}, \vec{OB} \,\ и \,\ \vec{OC}[/tex] са линейно независими.

а) Нека [tex]\varphi = \angle (\vec{a},\vec{b})[/tex].
С помощта на скаларно произведение намираме [tex]cos\gamma =x=0[/tex], ъгълът е [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] (Респективно [tex]\frac{-\pi}{2}[/tex] - ако държим на ориентацията).
б) Пресмятаме детерминантата, взимаме една шеста от модула и получаваме обема.