Сума

[Гост]

Как се получава тва нещо

[pal702004]

$1+2x+3x^2+\cdots+nx^{x-1}=(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)'=\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'$

[Kre4etalo]

Има популярно решение със знания от прогимназиалния курс.
$$1+2x+3x^2+\cdots nx^{n-1}=(1+x+x^2+x^3+\cdots x^{n-1})+(x+x^2+x^3+\cdots+x^{n-1})+(x^2+x^3+\cdots + x^{n-1})+\cdots + (x^{n-2}+x^{n-1})+(x^{n-1})=\frac{1-x^n}{1-x}+x\frac{1-x^{n-1}}{1-x}+x^2\frac{1-x^{n-2}}{1-x}+\cdots +x^{n-2}\frac{1-x^2}{1-x}+x^{n-1}\frac{1-x}{1-x}=\frac{1}{1-x}\left((1-x^n)+(x-x^n)+(x^2-x^n)+\cdots+(x^{n-2}-x^n)+(x^{n-1}-x^n)\right)=\frac{1}{1-x}(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}-nx^n)=\frac{1}{1-x}\left(\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n\right)=\frac{1-x^n-(1-x)nx^{n}}{(1-x)^2}.$$