Прав паралелепипед

[Гост]

Прав паралелепипед има за основа ромб с диагонали 6 см и 8 см, а лицето на повърхнината му е 288 см². Намерете обема на паралелепипеда.

[S.B.]

Untitled (2).png (215.78 KiB) Прегледано 622 пъти

Даден е прав паралелепипед [tex]ABCDHFEG[/tex] с основа ромб [tex]ABCD[/tex] с диагонали [tex]AC = 8 см , BD = 6 см[/tex] и [tex]S = 288 см^{2}[/tex] Търси се обема на паралелепипеда [tex]V = ?[/tex]
[tex]S = S_{ок } + 2.B_{осн. }[/tex]
[tex]B_{осн } = \frac{AC.BD}{2} = \frac{6.8}{2} = 24[/tex]; [tex]S_{ок } = P.h[/tex]
Нека бележим основния ръб [tex]AB = a[/tex] , а околния ръб [tex]AH = h[/tex] Тогава [tex]S_{ок } = 4a.h[/tex]
Разглеждаме основата - ромб [tex]ABCD[/tex] , където [tex]AC\cap BD = I ; AC \bot BD[/tex]
В [tex]\triangle AIB : \angle AIB = 90^\circ , AI = \frac{AC}{2} = 4 , BI = \frac{BD}{2} = 3 \Rightarrow AB = 5[/tex] (Питагорова тройка)[tex]\Rightarrow a = 5 см[/tex]
[tex]S_{ok } = 4ah = 20h[/tex]
[tex]S = S_{ок } + 2B_{осн } \Rightarrow 288 = 20.h + 2.24[/tex] от където [tex]20h = 240 \Rightarrow h = 12 см[/tex]
[tex]V = B_{ осн}.h \Rightarrow V = 24.12[/tex] или [tex]V = 288 см^{3}[/tex]