Да се докаже

[Davids]

$x - \frac{x^3}{6} \le sinx$ за $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$
Успявам да докажа чрез граници към крайните стойности, че се клони към тях, ама не мога да докажа, че е от правилната страна. Хванал съм производните да мъча, ама нещо ми отсъства визията пълна...

[KOPMOPAH]

Сигурен ли си, че се трябва да се реши със средствата на гимназиалния курс? Виж разложението на синуса по Тейлър - Маклорен, това са първите два члена, и то за $\forall x$, а не специално за $x \in [0;\frac {\pi}2]$

[Davids]

Сигурен ли си, че се трябва да се реши със средствата на гимназиалния курс? Виж разложението на синуса по Тейлър - Маклорен, това са първите два члена, и то за $\forall x$, а не специално за $x \in [0;\frac {\pi}2]$

Да, излиза, че може. Разбира се, минути след като качих темата ме осени и прозрението
$x - \frac{x^3}{6} \le sinx$
Така, ще запишем неравенството във вида $f(x) \le g(x), x \in [0; \frac{\pi}{2}]$.
Първо проверяваме, че за долната граница на интервала, $x = 0$, имаме $f(x) = g(x)$.
Сега ще докажем, че дясната страна е строго нарастваща (всъщност няма да го доказваме, знаем, че синусът расте от 0 до $\frac{\pi}{2}$ и ще си го спестя ) и ще наблегнем на факта, че нараства по-бързо от лявата страна в интервала $(0; \frac{\pi}{2})$
Тоест, трябва да докажем, че $f'(x) \le g'(x)$ или $1 - \frac{x^2}{2} \le cosx$ за интервала.
Взимаме всичко от една страна и достигаме до вида:
$cosx + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0$.
За $x = 0$ равенството е изпълнено. Сега ще докажем, че функцията от ляво е нарастваща в интервала. Взимаме производната й и доказваме, че е неотрицателна:
$x - sinx \ge 0; x \in [0; \frac{\pi}{2}]$ и тук нещата стават вече доста основни, но нека подходим изчерпателно:
$x \ge sinx$
Отново за $x = 0$ имаме равенство, но тъй като $x$ нараства по-бързо от $sinx$ в интервала (отново производните, но вече ясно еднозначно неравенство: $1 \ge cosx$) и също неравенството е изпълнено за горната му граница (т.е. $\frac{\pi}{2} \ge sin\frac{\pi}{2} = 1$), то неравенството е доказано. А с него и всички други неравенства по верижката нагоре.