Доказателство на теореми, стереометрия

[Гост]

Задача 1: В триъгълник ABC, със страни AC=15, BC=13, AB=14, отсечката MC=6 е перпендикулярна на равнината на триъгълник ABC. Ако CE е височина към страната AB, намерете ME.
Задача 2: Даден е равнобедрен триъгълник ABC. Точка D е средата на BC, а ED е перпендикулярна на равнината ABC. Докажете, че: 1)BC е перпендикулярна на (ADE), 2) BC e перпендикулярна на AE.
Задача 3: Дадена е триъгълна пирамида ABCD, като AC=BC=7cm, AB=[tex]4\sqrt{6}[/tex]cm, DA=DB=[tex]2\sqrt{10}[/tex]cm и DC=3cm. Намерете дължината на перпендикуляра, спуснат от D към равнината (АBC).
Задача 4: В пирамидата ABCD ръбът AD e перпендикулярен на основата ABC и M е средата на ръба BD. Ако [tex]\alpha[/tex] е равнина през M, перпендикулярна на AO и [tex]\alpha\capCD=N[/tex], докажете, че MN=BC/2.
Задача 5: Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб AB=[tex]5\sqrt{2}[/tex] и околен ръб AQ=13.
1) Ако [tex]O=AC\capBD[/tex], QO=?
2) Ако M е средата на AQ и N е петата на перпендикуляра, спуснат от M към (ABCD), MN=?

[S.B.]

Untitled (5).png (206.46 KiB) Прегледано 484 пъти

Задача 1: В триъгълник ABC, със страни AC=15, BC=13, AB=14, отсечката MC=6 е перпендикулярна на равнината на триъгълник ABC. Ако CE е височина към страната AB, намерете ME.

Заменям т.[tex]M[/tex] с т.[tex]D[/tex] тъй като не мога да сменя означенията които дава програмата за чертаене
Нека пирамидата е [tex]ABCD[/tex], като [tex]CD \bot (ABC)[/tex] ; [tex]CE\bot AB \Rightarrow CE[/tex] е височина в [tex]\triangle ABC[/tex],
По Хероновата формула намирам [tex]S_{ABC } = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c) } = \sqrt{21.8.7.6} = 84[/tex] ;[tex]S_{ABC } = \frac{CE.AB}{2} \Leftrightarrow 84 = \frac{CE.14}{2} \Rightarrow CE = 12[/tex]
Oт правоъгълния [tex]\triangle DCE[/tex] по Питагор [tex]\Rightarrow DE^{2} = CD^{2} + CE^{2} \Leftrightarrow DE^{2} = 6^{2} + 12^{2} \Rightarrow DE^{2} = 180[/tex]
[tex]DE = \sqrt{180} = \sqrt{9.4.5} = 6\sqrt{5}[/tex]

[S.B.]

Untitled (6).png (262.9 KiB) Прегледано 474 пъти

Задача 3: Дадена е триъгълна пирамида ABCD, като AC=BC=7cm, AB=[tex]4\sqrt{6}[/tex]cm, DA=DB=[tex]2\sqrt{10}[/tex]cm и DC=3cm. Намерете дължината на перпендикуляра, спуснат от D към равнината (АBC).

Построявам в равнобедрения [tex]\triangle ABC[/tex] височината [tex]CE \bot AB[/tex] ; [tex]CE[/tex] е и височина и медиана [tex]\Rightarrow AE = BE = 2\sqrt{6}[/tex]
Тогава се получава,че [tex]DE[/tex] е медиана в [tex]\triangle ABD[/tex], който е равнобедрен [tex]\Rightarrow DE \bot AB[/tex]
От [tex]\triangle BED[/tex] по Питагор намираме [tex]DE^{2} = BD^{2} - BE^{2} = (2\sqrt{10})^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 40 - 24 = 16 \Rightarrow DE = 4[/tex]
От [tex]\triangle CEB[/tex] по Питагор намираме [tex]CE^{2} = BC^{2} - EB^{2} = 7^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 49 - 24 = 25 \Rightarrow CE = 5[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle CED[/tex] : неговите страни са :[tex]ED = 4 ,DC = 3 ,CE = 5 \Rightarrow[/tex] този триъгълник е правоъгълен.Височината му към хипотенузата [tex]CE[/tex] е търсения перпендикуляр от т.[tex]D[/tex] към основата [tex]ABC[/tex] и ще го означим с [tex]h_{D }[/tex]
[tex]h_{D } \bot (ABC)[/tex] защото:
[tex]AB \bot CE ,AB\bot DE ,CD\cap DE = E \Rightarrow AB \bot (DCE),h_{D }\in (CED) \Rightarrow AB\bot h_{D }[/tex]
[tex]h_{D } \bot CE , h_{D } \bot AB ,AB \cap CE = E \Rightarrow h_{D } \bot (ABC)[/tex]
[tex]S_{DEC } = \frac{DE.DC}{2} = \frac{3.4}{2} = 6[/tex]
Но [tex]S_{DEC } = \frac{EC.h_{D }}{2} \Leftrightarrow 6 = \frac{5.h_{D }}{2} \Rightarrow h_{D } = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}[/tex]