Граница

[Гост]

Никаква идея

[Knowledge Greedy]

След правилото на Лопитал за вътрешната граница остава да намерим
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n }\left (\frac{k}{n} \right )^{ \frac{2}{3}}[/tex]
Апоследното си е точно [tex]\int\limits_{0}^{1}\sqrt[3]{x^2}dx=\frac{3}{5}[/tex]

[Гост]

Интегралите не ги знам , възможно ли е с теорема на Щолц ? Може ли да покажете

[Добромир Глухаров]

$L=\lim_{x\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^5}}\cdot\frac{1-cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n}x}{x^2}=\lim_{x\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$

$a_n=1-cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n}x$
$b_n=\sqrt[3]{n^5}.x^2$

$a_n-a_{n-1}=1-cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x.cos\sqrt[3]{n}x-(1-cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x)=$

$=cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x-cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x.cos\sqrt[3]{n}x=$

$=cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x(1-cos\sqrt[3]{n}x)=$

$=2sin^2\frac{\sqrt[3]{n}x}{2}cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x$

$b_n-b_{n-1}=(\sqrt[3]{n^5}-\sqrt[3]{(n-1)^5})x^2$

$L=\lim_{x\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{2sin^2\frac{\sqrt[3]{n}x}{2}cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x}{\left(\frac{\sqrt[3]{n}x}{2}\right)^2\cdot\frac{4}{\sqrt[3]{n^2}}\left(\sqrt[3]{n^5}-\sqrt[3]{(n-1)^5}\right)}=$

$=\lim_{x\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{2cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x}{4\left(\sqrt[3]{n^3}-\sqrt[3]{\frac{(n-1)^5}{n^2}}\right)}=$

$=\lim_{x\to0}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{cosx.cos\sqrt[3]{2}x.cos\sqrt[3]{3}x\cdots cos\sqrt[3]{n-1}x}{1-\sqrt[3]{\frac{(n-1)^5}{n^5}}}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1-\sqrt[3]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^5}}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}\cdot\frac{1}{1-\left(1-\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{n}\right)}=\frac{3}{10}$

Преобразуванието в последния ред произтича от формулата за Нютоновия бином, като са взети само първите два члена в развитието.

[Гост]

Не клони ли към 0 sinx/x когато х клони към безкрайност или сменяш границите и го правиш х да клони към 0 в една стъпка

[Гост]

А то е n схванах

[Гост]

Това с Нютоновия бином не е ли вярно само за естествените числа, само него не разбрах , иначе другия начин е рационализиране нали

[Добромир Глухаров]

Това с Нютоновия бином не е ли вярно само за естествените числа, само него не разбрах , иначе другия начин е рационализиране нали

Да, наистина . Като за 12 клас е по-добре с рационализиране. Иначе в университета по МА1 (математически анализ - І-ва част) ще учите как се развива функцията $f(x)=(1+x)^\alpha$ в ред на Тейлър-Мак-Лорен $f(x)=1+{\alpha\choose1}x+{\alpha\choose2}x^2+{\alpha\choose3}x^3+\cdots$, където ${\alpha\choose k}=\frac{\alpha.(\alpha-1).(\alpha-2)...(\alpha-k+1)}{k!}$ за произволно $\alpha\in\mathbb{R}$ и $|x|<1$

[Гост]

Не съм 12 клас пиша тук просто
Мерси за теоремата