Комплексни числа - корен 5-ти на комплексно число

[Гост]

[tex]\sqrt[5]{-2+2i}[/tex]

[Гост]

$$\sqrt[5]{-2 + 2 i}=- \frac{2^{\frac{4}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{2^{\frac{4}{5}} i}{8} \sqrt{5} + \frac{2^{\frac{4}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

[Гост]

$$\sqrt[5]{-2 + 2 i}=\\=2^{\frac{3}{10}} \left(\cos{\left (\operatorname{atan}{\left (\frac{- 2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5} + 2^{\frac{4}{5}} + 2 \cdot 2^{\frac{3}{10}} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{- 2^{\frac{4}{5}} + 2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{\frac{3}{10}} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} \right )} + i \sin{\left (\operatorname{atan}{\left (\frac{- 2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5} + 2^{\frac{4}{5}} + 2 \cdot 2^{\frac{3}{10}} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{- 2^{\frac{4}{5}} + 2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{\frac{3}{10}} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )} \right )}\right)$$

[Гост]

$$\sqrt[5]{-2 + 2 i}=2^{\frac{3}{10}} e^{i \operatorname{atan}{\left (\frac{- 2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5} + 2^{\frac{4}{5}} + 2 \cdot 2^{\frac{3}{10}} \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{- 2^{\frac{4}{5}} + 2^{\frac{4}{5}} \sqrt{5} + 2 \cdot 2^{\frac{3}{10}} \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \right )}}$$

[Гост]

Найс, а?

[Гост]

Ако беше $\sqrt[6]{-2 + 2 i}$ е съвсем друга работа:
$$\sqrt[6]{-2 + 2 i}=\sqrt[4]{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt[4]{2} i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

[KOPMOPAH]

Всъщност, най-вероятно задачата изглежда така: $$\sqrt[3]{-2 + 2 i}$$ и отговорът (и в трите форми) е повече от скромен $$\sqrt[3]{-2 + 2 i}=1 + i=\sqrt{2} \left(\cos{\left (\frac{\pi}{4} \right )} + i \sin{\left (\frac{\pi}{4} \right )}\right)=\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}$$
Една грешка ($3$ вместо $5$) води до страшничките изрази по-горе