Задача от Зип математиката

[violina7771]

Даден е правоъгълен [tex]\triangle[/tex] ABC c \angle C = 90^\circ и височина CD = 9. Ако CD разполовява ъглополовящата му AL, намерете лицето на триъгълника.

[KOPMOPAH]

Триъгълник, височина и ъглополовяща.png (4.78 KiB) Прегледано 125 пъти

Започваме с това, че $\triangle ADE\approx \triangle ACL$, защото са правоъгълни и $\measuredangle CAL=\measuredangle EAD$ по условие. Получаваме, че $\measuredangle CLA=\measuredangle AED$, откъдето следва, че $CE=CL$ и $\measuredangle CEL=\measuredangle CLE$.
В същото време $CE$ е медиана в правоъгълния $\triangle ALC $ и е равна на $EL$, откъдето можем да направим извода, че $\triangle ALC $ е равностранен и $\measuredangle CLA=60^\circ$.
Нататък е лесно - $BC=18$, $AB=\frac {BC}{\cos 30^\circ}=\frac {18}{\frac{\sqrt 3}2}=\frac{2.18\sqrt 3}3=\cdots$ и намираме лицето