Задача от Зип математиката част 2

[violina7771]

В [tex]\triangle[/tex]ABC медианата CM (M \inAB) и ъглополовящата AL (L \inBC) са взаимно перпендикулярни, като CM= 2\sqrt{5} ( две корен от пет) и AL = 8/3. Намерете страните на триъгълника \triangleABC.

[KOPMOPAH]

Заради старанието да напишеш на Latex формулите, заслужаваш да ти бъде отговорено бързо. При първа възможност ще го направя.
Дотогава един съвет - слагай по едно [tex]$[/tex] преди и след формулата, за да изглежда така [tex]$(M \in AB)$[/tex] и от (M \inAB) ще стане $(M \in AB)$, а от CM= 2\sqrt{5} - съответно $CM= 2\sqrt{5}$. Трябва също да има интервал между \in и [tex]AB[/tex]

[ева]

Ако правилно съм разбрала CM=2[tex]\sqrt{5}[/tex] , AL=[tex]\frac{8}{3}[/tex] .
Реших зад.чрез система с 4 уравнения,получих отг.а=7 ; b=3 ; c=6 .

Скрит текст: покажи

Неизвестни-[tex]a_{1 }[/tex],[tex]a_{2 }[/tex],b,c

Tова ли са отговорите

[Гост]

Чудя се,защо не проявяваш интерес към тази красива задача.
Аз съм сигурна,че отговорите ми са верни,но исках да разбера същите ли са и в учебника.
Често попадаме на задачи с грешни отговори.
Дано съм ти помогнала с нещо.(от ева)

[Гост]

чака отговора от КОРМОРАН, който вместо да отговори бързо, се разсейва със задача, известна в северозапада като "босненец и мъди"

[Гост]

Какво значение има от кого е решението,щом то е вярно ?

[KOPMOPAH]

Перпендикулярни медиана и бисектриса.png (5.46 KiB) Прегледано 190 пъти

Поздравявам ева за бързия и правилен отговор.

Браво.gif (14.69 KiB) Прегледано 190 пъти

Аз получих същите стойности, подхождайки към задачата така:
Щом $AF$ е и бисектриса, и височина в $\triangle AMC$, значи той е равнобедрен и $AM=AC=b$. Тогава $AB=2b$, тъй като т. $M$ е среда на $AB$.
Отбелязваме частите на страната $a$ с $a_1$ и $a_2$ и от свойството на бисектрисата да дели страната на части в съотношение, равно на отношението на прилежащите страни получаваме $AB:BL=AC:CL$, $a_2=2a_1$.
От формулата за дължина на бисектриса $$AL^2=AB.AC-BL.CL$$ $$2b^2-2a_1^2=\left(\frac 83\right)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
От формулата за дължина на медиана $$CM^2=\frac{2AC^2+2BC^2-AB^2}4$$ $$(2\sqrt 5)^2=\frac{2b^2+2(3a_1)^2-(2b)^2}4$$
$$18a_1^2-2b^2=80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
От равенствата $(1)$ и $(2)$ правим системата $$\begin{array}{|l} \displaystyle 2b^2-2a_1^2=\left(\frac 83\right)^2\\18a_1^2-2b^2=80 \end{array}$$ чиито положителни решения са $b=3$, $a_1=\frac 73$, откъдето $AB=6$, $BC=7$ и $AC=3$

[Гост]

Голямо благодаря на корморан.Нямаше нужда.(ева)