Доказателство

[Гост]

Нека g(x) е диференцируема в интервала [0,2], като g(0)=1 и g'(x) [tex]\le[/tex]3 за [tex]\forall[/tex]x[tex]\in[/tex][0,2].Докажете, че g(x)[tex]\le[/tex]7 за [tex]\forall[/tex]x[tex]\in[/tex][0,2]

[Davids]

Ако вземем за отправна точка $x = 0$, то ще проследим нарастването на функцията, за да докажем, че то ще е винаги недостатъчно голямо, че да може тя да надмине стойността 7 в интервала $[0; 2]$.
Започваме с $g(0) = 1 < 7$, което удовлетворява това условие. Сега ще допуснем, че нарастването на функцията в този интервал е константното максимално допустимо от условието, т.е. $g'(x) = 3 \in [0; 2]$. Но знаем, че щом имаме константна първа производна, то основната функция е линейна. Т.е. $g(x) = ax + b$. Понеже $g(0) = a.0 + b = 1 \Rightarrow b = 1$. Освен това също знаем за линейната функция, че производната е равна на ъгловия й коефициент ($a$).

Скрит текст: покажи

Доказателство по дефиниция за производна:
$g'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{y(x) - y(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{ax + b - ax_0 - b}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a(x - x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a.\cancel{\Delta x}}{\cancel{\Delta x}} = a$

И така имаме $g(x) = 3x + 1$, която е функцията при константно максимално нарастване $g'(x) = 3$. И тогава ясно се вижда, че $g(x) \le 7$ за $x \in [0; 2]$

[ptj]

Добра идея, но лошо обяснение.

От диференцируемостта на [tex]g(x)[/tex] в [tex][0;2][/tex] следва и нейната непрекъснатoст в същия интервал, а границите в крайните точки са стойностите на функцията (ако е дефинирана). Освен това при [tex]x\in[0;2][/tex] от [tex]g'(x)\le3[/tex] следва,че [tex]g(x)[/tex] е ограничена от горе от [tex]f(x)=3x+1[/tex], чиято горна граница е [tex]f(2)=7[/tex] и тя не се достига.

[drago]

Добра идея, но лошо обяснение.

От диференцируемостта на [tex]g(x)[/tex] в [tex][0;2][/tex] следва и нейната непрекъснатoст в същия интервал, а границите в крайните точки са стойностите на функцията (ако е дефинирана). Освен това при [tex]x\in[0;2][/tex] от [tex]g'(x)\le3[/tex] следва,че [tex]g(x)[/tex] е ограничена от горе от [tex]f(x)=3x+1[/tex], чиято горна граница е [tex]f(2)=7[/tex] и тя не се достига.

Хм, то щото това е мн. добре обяснено!

[drago]

Прави се класически с теоремата за крайните нараствания (на Лагранж). Нека доп. че има $x\in (0,2]$ с $g(x)>7$. Съгласно цитираната теорема, съществува т. $\xi\in (0,x)$ удовлетворяваща $g'(\xi)=\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$. Дясната страна е по-голяма от $3$, противоречие.