Конус

[Гост]

Лицето на околната повърхнина на прав кръгов конус е [tex]\sqrt{2}\pi[/tex], а обемът му е [tex]\frac{\pi}{3}[/tex]. Намерете радиуса на конуса.
Отговорите са [tex]1[/tex] и [tex]\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex].

[Davids]

$S = \pi rl = \sqrt{2}\pi \Rightarrow rl = \sqrt{2} \Rightarrow l = \frac{\sqrt{2}}{r}$
$V = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow r^2h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{r^2}$

И по Питагорова теорема имаме: $r^2 = l^2 - h^2 = \frac{2}{r^2} - \frac{1}{r^4}$

Заместваме от другите уравнения:
$r^6 - 2r^2 + 1 = 0$

Полагаме $t = r^2$ и по Хорнер намираме едното решение (което винаги е решение на полином с огледални коефициенти) $t = 1$. Остава ни:
$(t - 1)(t^2 - t - 1) = 0$
Другото решение ни е $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

След още по едно коренуване си намираме и радиусите

[Добромир Глухаров]

Нека радиусът на основата е $r$, а височината - $h$. Тогава образувателната е $l=\sqrt{h^2+r^2}$, а лицето на околната повърхнина - $S_{ок.}=\pi rl=\pi r\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{2}\pi$. Делим двете страни на $\pi$ и повдигаме на квадрат: $r^2(h^2+r^2)=2$. Обемът пък е $V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi}{3}$, следователно $r^2h=1$.

От последните две получаваме системата $\begin{array}{|l}r^2(h^2+r^2)=2\\r^2h=1\end{array}$. От първото уравнение $r^2h^2+r^4=2$, като използваме $r^2h=1$, получаваме $h+r^4=2\Rightarrow\frac{1}{r^2}+r^4=2\Rightarrow r^6-2r^2+1=0$. Полагаме $r^2=t\geq0\Rightarrow t^3-2t+1=0$.

"Досещаме" се, че $t_1=1$, понеже $1^3-2.1+1=1-2+1=0$. Разлагаме на множители $t^3-2t+1=(t-1)(t^2+t-1)$ (Можем да разделим полинома $t^3-2t+1$ на полинома $t-1$, при което получаваме полинома $t^2+t-1$, или да използваме метода на Хорнер). За да получим $t_{2,3}$, решаваме квадратното уравнение $t^2+t-1=0$. $t_3=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0$, следователно не е решение. $r^2=1\Rightarrow\fbox{r=1}$ или $r^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow\fbox{r=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$ са двете решения.

[Гост]

Даден е прав кръгов конус
a) l= 8см
S na okolna povirhnina = 24псм
B=?


b) (h,l)= 1/3
B = 72псм
S1 =?


Даден е предечен конус
а) l=10см
алфа = 60градуса
d+d1 = 14см
S на ок повърхнина = ?

[Davids]

а) $S = \pi rl = 8\pi r = 24\pi \Rightarrow r = 3$
$\Rightarrow B = \pi r^2 = 9\pi cm^2$

b) за жалост нищо не ми говори записа $(h, l) = 1/3$

c) $cos\alpha = \frac{R}{l} = \frac{R}{10} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = 5 \Rightarrow d = 10 \Rightarrow d_1 = 4 \Rightarrow r = 2$

Тогава по формулата за околна повърхнина на пресечен конус имаме $S = \pi (r + R)l = 70\pi$