Правоъгълен паралелепипед

[Гост]

Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]. Равнината [tex](A_{1}C_{1}M)[/tex] пресича BC в точка N. Докажете, че [tex]A_{1}C_{1}NM[/tex] е трапец. Как да докажа, че MN||AC ?

[Петър Евгениев]

Точката M е среда на ръба AB на правоъгълния паралелепипед [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]. Равнината [tex](A_{1}C_{1}M)[/tex] пресича BC в точка N. Докажете, че [tex]A_{1}C_{1}NM[/tex] е трапец. Как да докажа, че MN||AC ?

[tex]AC\notin (A_{1}C_{1}M), A_{1}C_{1}\in(A_{1}C_{1}M)[/tex] и [tex]AC\bot AA_{1}, A_{1}C_{1}\bot AA_{1} \Rightarrow AC||A_{1}C_{1} \Rightarrow AC||(A_{1}C_{1}M) \Rightarrow AC[/tex] и [tex]MN[/tex] са или успоредни или кръстосани, но понеже и двете прави лежат в равнината на основата [tex]MN\in(ABCD), AC\in (ABCD)[/tex], то е невъзможно да са кръстосани и остава да са успоредни [tex]MN||AC||A_{1}C_{1} \Rightarrow MN||A_{1}C_{1}[/tex]

[ptj]

Теорема: Ако пресечеш две успоредни равнини с трета, то пресечниците са успоредни прави.

Доказателството е елементарно - допускаш, че пресечниците се пресичат. Тогава общата им точка принадлежи и на трите равнини, което е в противоречие с успоредността на двете равнини.