Триъгълна пирамида

[Гост]

Основата на триъгълна пирамида ABCD е равностранен триъгълник ABC със страна 2. Равнините (ACD) и (BCD) са перпендикулярни на равнината на основата, а третата околна стена сключва с равнината на онсовата ъгъл [tex]60^\circ[/tex]
a)Докажете, че [tex]CD\bot (ABC)[/tex]
б)Намерете ъгъла между (ACD) и (BCD)
в)Намерете дължината на ръба CD

[Davids]

а) Щом двете околни стени са перпендикулярни на равнината на основата, то значи и в двата триъгълника околни стени спуснатата от върха на пирамидата височина към съответния основен ръб трябва също да е перпендикулярна на основата. Тъй като е възможно спускането само на една права, перпендикулярна на равнина, от точка извън нея, то за да лежи на двата основни ръба едновременно, височината на пирамидата трябва да се проектира върху пресечната им точка - $C$. Така $CD \bot (ABC)$.

б) Тъй като $CD$ е пресечницата на двете равнини и $AC \bot CD$, както и $BC \bot CD$, то търсеният ъгъл е $\angle ACB = 60°$

в) Спускаме височина $CH = h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ в основата и даденият в условието ъгъл ще е $\angle CHD = 60°$. Тогава от едноименния триъгтлник по дефиницията за тангенс извеждаме $CD = CH.tg60 = \sqrt{3}.\sqrt{3} = 3$