Да се докаже

[Гост]

Нека [tex]f(x):=2arctgx+arcsin\frac{2x}{1+x^{2}}[/tex].Да се докаже, че [tex]f(2019)=π.[/tex]

[aifC]

[tex]f(x):= 2arctg(x) + arcsin\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)[/tex]

[tex]f(1):=2arctg(1) + arcsin(1) = \pi[/tex]

Остава да покажем че за [tex]\forall \space x \ge 1[/tex] , [tex]f'(x) = 0[/tex]

[tex]f'(x) = (2tg^{-1}(x) + sin^{-1} \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)) = \frac{2}{x^{2}+1} - \frac{2\sqrt{\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}}{x^{2}-1} = 2-2=0[/tex]