Ъгъл между стени на пирамидa

[Гост]

Основата на правилна триъгълна пирамида ABCD е равностранен триъгълник със страна 2, а околните ръбове имат дължина [tex]\sqrt{2}[/tex].
Намерете ъгъла между (ABC) и (BCD).

[Davids]

Търси се ъгълът между височината в основата и апотемата на околната стена към основния ръб $BC$.
Височината в основата е $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$, апотемата респективно е $k = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{ 2 - 1} = 1$. Оттам по косинусова теорема можем да намерим:
$cos\varphi = \frac{h^2 + k^2 - l^2}{2hk} = \frac{3 + 1 - 2}{2.1.\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow \varphi = arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 54.735610$

[Гост]

cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]=0,57735...[tex]\approx[/tex]0,5774

cos [tex]\varphi[/tex][tex]\approx[/tex]0,5774 Не трябва ли [tex]\varphi[/tex]=54[tex]^\circ[/tex]42' ?

[ptj]

Апотемата е [tex]\sqrt{2-1}=1[/tex].
Височината в основата е [tex]\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}[/tex].
Триъгълника образуван от околен ръб, височина в основата и апотема (, лежащи в една равнина,) е правоъгълен,
защото [tex](\sqrt{3})=(\sqrt{2})^2+1^2[/tex].

[tex]tg(\varphi)=\sqrt{2}\Rightarrow \varphi =arctg(\sqrt{2})[/tex].