Лог. нер.

[Гост]

[tex]\frac{{\log}_{5 }(x^{2}-4x-11)^{2}-{\log}_{11 }(x^{2}-4x-11)^{3}}{2-5x-3x^{2}}\ge 0[/tex]

[Davids]

[tex]\frac{{\log}_{5 }(x^{2}-4x-11)^{2}-{\log}_{11 }(x^{2}-4x-11)^{3}}{2-5x-3x^{2}}\ge 0[/tex]

Първо обявяваме ДС: $x^2 - 4x - 11 > 0 \Leftrightarrow x \not \in [2 - \sqrt{15}; 2 + \sqrt{15}]$

Даденото е еквивалентно на $({\log}_{5 }(x^{2}-4x-11)^{2}-{\log}_{11 }(x^{2}-4x-11)^{3})(2-5x-3x^{2}) \ge 0$, само че без нулите на знаменателя.
Взимаме числителя и го разработваме:
${\log}_{5 }(x^{2}-4x-11)^{2}-{\log}_{11 }(x^{2}-4x-11)^{3} = 2\log_5(x^2 - 4x - 11) - 3\frac{log_5(x^2 - 4x - 11)}{log_511}$

Ще положим $t = log_5(x^2 - 4x - 11)$ и така изразът придобива вида:
$2t - 3\frac{t}{log_511} = \frac{2log_511 - 3}{log_511}t$

Така цялото неравенство ни е равносилно на:
$\frac{\frac{2log_511 - 3}{log_511}t}{-3x^2 - 5x + 2} \ge 0$

И сега, понеже $\frac{2log_511 - 3}{log_511} = \frac{log_5121 - log_5125}{log_511} < 0$ и също от знаменателя ще извадим един минус пред скоби, получаваме:
$\frac{t}{3x^2 + 5x - 2} \ge 0$

$\frac{log_5(x^2 - 4x - 11)}{(x + 2)(3x - 1)} \ge 0$

Което е еквивалентно на:
$\begin{array}{|l} log_5(x^2 - 4x - 11) \ge 0 \\ (x + 2)(3x - 1) > 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} log_5(x^2 - 4x - 11) \le 0 \\ (x + 2)(3x - 1) < 0 \end{array}$

$\begin{array}{|l} x \in (-\infty; -2] \cup [6; +\infty) \\ x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{3}; +\infty) \end{array} \cup \begin{array}{|l} x \in [-2; 6] \\ x \in (-2; \frac{1}{3}) \end{array}$

Което окончателно ни дава:
$x \in (-\infty; -2) \cup [6; +\infty) \cup (-2; \frac{1}{3})$

Пресечено с ДС стигаме до отговор:
$x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2 - \sqrt{15}) \cup [6; +\infty)$

[Гост]

грешно, грешно, като Минка Свирката грешно...

[Гост]

Diversis me adepto a respondere.

[123a]

$x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2 - \sqrt{15}) \cup (2 +\sqrt{15}; +\infty)$