2 уравнения с корен трети

[Гост]

[tex]\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=?[/tex]
[tex]\sqrt[3]{26+\sqrt{675}}+\sqrt[3]{26-\sqrt{675}}=?[/tex]

[Добромир Глухаров]

$A=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

$A^3=9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}.A$

$A^3=9+9+3.\sqrt[3]{81-80}.A$

$A^3=18+3A$

$A(A^2-3)=18$

$\fbox{A=3}\ (3.(3^2-3)=3.6=18)$

Другите два корена на кубичното уравнение $A^3=18+3A$ са комплексно спрегнати, следователно не са подходящи за стойности на дадения в условието израз.

По същия начин се вижда, че вторият израз удовлетворява кубичното уравнение $A^3=52+3A$, откъдето стойността му е $\fbox{A=4}$.