Модулно логаричтмично показателно уравнение

[Гост]

[tex]|x-1|^{\log_{3 }x^{2}-2\log_{x }9}=1-2x+x^{2}[/tex]

[S.B.]

[tex]|x-1|^{\log_{3 }x^{2}-2\log_{x }9}=1-2x+x^{2}[/tex]

$|x - 1|^{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9} = 1 -2x - x^{2} \Leftrightarrow$ $|x - 1|^{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9} = (x - 1)^{2}$
$|x - 1| \Rightarrow $ или $x - 1< 0 $ или $x - 1 > 0$
Ако приемем $x - 1 < 0 $ ,тогава основата на степента в ляво ще е отрицателна,което противоречи на дефиницията за показателна функция,$\Rightarrow x - 1 >0$ и Д.М. е $x \in (1 ; + \infty)$
$(x - 1)^{\displaystyle log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9} = (x - 1)^{2} \Leftrightarrow$ $ (x - 1) ^{\displaystyle\frac{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9}{2}} = (x - 1)$
$\frac{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }3^{2}}{2} = 1 \Leftrightarrow$ $ 2log_{3 }x - 4 log_{x }9 - 2 = 0 \Leftrightarrow$ $2log_{3 }x - \frac{4log_{3 }3}{log_{3 }x} - 2 = 0$
Полагам $log_{3 }x = t \ne 0$ замествам и след преобработка получавам $t^{2} - t - 2 = 0$ с корени $t_{1 } = 2 , t_{2 } = - 1$
Връщам субституцията: $ log_{3 }x = 2 \Rightarrow x = 3^{2} ,x = 9 \in$ Д.М. и $log_{3 }x = - 1 \Rightarrow x = 3^{- 1},x = \frac{1}{3} \notin$ Д.М.

[Davids]

DM: $x > 0; x \ne 1$
$(|x-1|^2)^{log_3x - 2log_x3} = (x - 1)^2$
При положение, че не можем да занулим основите или да ги приравним на едно, остана да търсим равни степенни показатели на двете страни:
$log_3x - 2log_x3 = 1$
Сменяме основата на единия логаритъм и полагаме $t = log_3x$:
$t - \frac{2}{t} = 1$
$t^2 - t - 2 = 0$
$t_1 = -1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3}$
$t_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 9$

[Гост]

[tex]|x-1|^{\log_{3 }x^{2}-2\log_{x }9}=1-2x+x^{2}[/tex]

[tex]|x-1|^{\log_{3 }x^{2}-2\log_{x }9}=|x-1|^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow |x-1|=1 \lor \log_{3 }x^{2}-2\log_{x }9=2[/tex]
[tex]\Rightarrow x=0\notin DM, x=2 \lor x=9, x=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]x=\bigcup\limits_{i=1}^{3}x_{i }=\left\{\frac{1}{3}, 2, 9\right\}[/tex]

[Davids]

Правилно, заблудил съм се със знака... Можем да приравним основите на 1 при $x = 2$, което също е решение.

[Гост]

[tex]|x-1|^{\log_{3 }x^{2}-2\log_{x }9}=1-2x+x^{2}[/tex]

$|x - 1|^{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9} = 1 -2x - x^{2} \Leftrightarrow$ $|x - 1|^{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9} = (x - 1)^{2}$
$|x - 1| \Rightarrow $ или $x - 1< 0 $ или $x - 1 > 0$
Ако приемем $x - 1 < 0 $ ,тогава основата на степента в ляво ще е отрицателна,което противоречи на дефиницията за показателна функция,$\Rightarrow x - 1 >0$ и Д.М. е $x \in (1 ; + \infty)$
$(x - 1)^{\displaystyle log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9} = (x - 1)^{2} \Leftrightarrow$ $ (x - 1) ^{\displaystyle\frac{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }9}{2}} = (x - 1)$
$\frac{log_{3 }x^{2} - 2log_{x }3^{2}}{2} = 1 \Leftrightarrow$ $ 2log_{3 }x - 4 log_{x }9 - 2 = 0 \Leftrightarrow$ $2log_{3 }x - \frac{4log_{3 }3}{log_{3 }x} - 2 = 0$
Полагам $log_{3 }x = t \ne 0$ замествам и след преобработка получавам $t^{2} - t - 2 = 0$ с корени $t_{1 } = 2 , t_{2 } = - 1$
Връщам субституцията: $ log_{3 }x = 2 \Rightarrow x = 3^{2} ,x = 9 \in$ Д.М. и $log_{3 }x = - 1 \Rightarrow x = 3^{- 1},x = \frac{1}{3} \notin$ Д.М.

[tex]|x-1|\ge 0, \forall x[/tex], a [tex]x\ne 1[/tex] от DM гарантира, че не е и нула.