[tex]\begin{array}{|l}5^{\lg x}\\3x^{\lg3}\end{array}[/tex]

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} 5^{\lg x}=3^{\lg y} \\ (3x)^{\lg3}=(5y)^{\lg5} \end{array}[/tex]

[Davids]

От първото уравнение:
$5^{lgx} = 3^{lgy}$
$lgx = lgy.log_53$
$\frac{lgx}{lgy} = log_yx = log_53$
$\Rightarrow x = y^{log_53}$

Хващаме второто у-е:
$\frac{x^{lg3}}{y^{lg5}} = \frac{5^{lg5}}{3^{lg3}}$
$y^{log_53.lg3 - lg5} = 3^{lg3}.5^{-lg5}$
$\Rightarrow y = \sqrt[log_53.lg3 - lg5]{3^{lg3}.5^{-lg5}}$

Респективно и хикса след това. Ама отговори в такъв вид, честно казано, хич не ме кефят... Ама ей гу

[Евва]

Да логаритмуваме ур-та с основа 10,получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} lgx.lg5=lgy.lg3 \\ lg3.lg(3x)=lg5.lg(5y) \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} lgy=\frac{lgx.lg5}{lg3} (1)\\ lg3(lg3+lgx)=lg5(lg5+lgy) \end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Заместаме,опростяваме и получаваме :

lgx=[tex]\frac{lg3(lg^{2}3-lg^{2}5)}{lg^{2}5-lg^{2}3}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] lgx=-lg3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] lgx=lg[tex]3^{-1}[/tex]

x=[tex]\frac{1}{3}[/tex] (връшаме се към(1))
lgy=[tex]\frac{-lg3.lg5}{lg3}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] lgy=-lg5 [tex]\Leftrightarrow[/tex] lgy=lg[tex]5^{-1}[/tex] ;y=[tex]\frac{1}{5}[/tex]

Отговор: ([tex]\frac{1}{3}[/tex];[tex]\frac{1}{5}[/tex])

[Гост]

Ако отговорите на Davids са верни, би следвало да могат да се опростят до тези прости дроби, което изглежда като по-трудната задача. Но дали са верни?
Задача в ДЗИ: опростете (тук "цъфват" отговорите на Davids), и после някои "опарен" се връща във форума с призив за обяснение, без да подозира kой е главният "виновник" за това.

[Гост]

Не зная кой е верния отговор,но зная,че няма съвършен човек.
Хайде да не се съдим !

[Гост]

Не зная кой е верния отговор,но зная,че няма съвършен човек.
Хайде да не се съдим !

Евва, т'ва ти ли си? И в твоя отговор ли не си сигурна?

[Davids]

Първо, забравил бях да си коригирам първоначалната грешка след умножението на кръст във втората част на решението, което доведе до разместване на записа и в крайна сметка грешен отговор за $y$. На практика се получава:
$y = \sqrt[log_53.lg3 - lg5]{5^{lg5}.3^{-lg3}}$
Което реално е равно на $\frac{1}{5}$
Второ, въпросът е доколко би бил приемлив един подобен верен отговор на потенциален изпит

[Гост]

Първо, забравил бях да си коригирам първоначалната грешка след умножението на кръст във втората част на решението, което доведе до разместване на записа и в крайна сметка грешен отговор за $y$. На практика се получава:
$y = \sqrt[log_53.lg3 - lg5]{5^{lg5}.3^{-lg3}}$
Което реално е равно на $\frac{1}{5}$
Второ, въпросът е доколко би бил приемлив един подобен верен отговор на потенциален изпит

Представи си сега да се даде [tex]y[/tex] в този му вид в ДЗИ с условието "опростете израза". Можеш ли да го направиш?

[Davids]

Именно, че е далеч от решимото за ДЗИ и никак не пледирам, че е нормалният вид на решението. Но е решение, та в този ред на мисли какво би било отношението към него от страна на проверяващото съсловие... се зачудих

[Гост]

Ами има шанс да го приемат...ако задачата е част от тест с дадени отговори, сред които фигурира и този
https://www.youtube.com/watch?v=zMRrNY0pxfM

[Гост]

сега го проверих-вярно си смятал, остава да го опростиш

jhfjlj.PNG (4.3 KiB) Прегледано 320 пъти

[Гост]

ония при основа пет го превърни в десетичен и ми се струва, че става...

[Davids]

$(5^{lg5}.3^{-lg3})^{\frac{1}{log_53.lg3 - lg5} } =$
$= [(10^{lg5})^{lg5}.(10^{lg3})^{-lg3}]^{\frac{1}{\frac{lg3} {lg5}.lg3 - lg5}} =$
$ = (10^{lg^25 - lg^23})^{\frac{lg5} {lg^23 - lg^25} } =$
$ = 10^{-lg5} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

[Гост]

сега си представи, че трябва да се докаже, че [tex]\lg3[/tex] и [tex]\lg5[/tex] са ирационални числа...

[Davids]

сега си представи, че трябва да се докаже, че [tex]\lg3[/tex] и [tex]\lg5[/tex] са ирационални числа...

Не кажем, че $lg_3$ е рационално число. Тогава $lg_3 = \frac{m}{n}$, като $m$ и $n$ са взаимнопрости. Значи
$10^{\frac{m}{n}} = 3$
$10^m = 3^n$
И понеже 10 и 3 са взаимнопрости, то няма как това да е вярно.
Същото и за другия логаритъм.

[Sup3rlum]

$(5^{lg5}.3^{-lg3})^{\frac{1}{log_53.lg3 - lg5} } =$
$= [(10^{lg5})^{lg5}.(10^{lg3})^{-lg3}]^{\frac{1}{\frac{lg3} {lg5}.lg3 - lg5}} =$
$ = (10^{lg^25 - lg^23})^{\frac{lg5} {lg^23 - lg^25} } =$
$ = 10^{-lg5} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ще ми даваш кредит като ме караш да ти ги смятам в 2 през нощта