Трапец

[Гост]

Трапецът ABCD е вписан в окръжност с R=[tex]\sqrt{130}[/tex]. Ако височината MN= 4, AB=18, то лицето на трапеца е?

[S.B.]

Без заглавие (34).png (130.34 KiB) Прегледано 354 пъти

Трапецът ABCD е вписан в окръжност с R=[tex]\sqrt{130}[/tex]. Ако височината MN= 4, AB=18, то лицето на трапеца е?

Щом трапеца е вписан в окръжност ,той е равнобедрен.
$AB= 18, DM \bot AB,DM = 4, AD = b, DB = d , CD = x, \angle ADB = \varphi$
За $\triangle ABD$ прилагам синусова теорема: $\frac{AB}{sin\varphi} = 2R \Leftrightarrow \frac{18}{sin\varphi} = 2\sqrt{130} \Rightarrow sin\varphi = \frac{9\sqrt{130}}{130} , cos\varphi = \frac{7\sqrt{130}}{130}$
[tex]S_{ABD } = \frac{b.d}{2}.sin\varphi = \frac{b.d}{2}.\frac{9\sqrt{130}}{130} ; S_{ABD } = \frac{18.4}{2} = 36 \Rightarrow \frac{b.d}{2}.\frac{9\sqrt{130}}{130} = 36 \Rightarrow b.d = 8\sqrt{130}[/tex]
За $\triangle ABD $ прилагам косинусова теорема: $18^{2} = b^{2} + d^{2} - 2.b.d.cos\varphi = b^{2} + d^{2} - \frac{2.8\sqrt{130}.7\sqrt{130}}{130} = b^{2} + d^{2} - 112$ или $b^{2} + d^{2} = 436$
От $\triangle AMD$ по Питагор : $AM = \sqrt{b^{2} - DM^{2}} = \sqrt{b^{2} - 16}$
От $\triangle BMD$ по Питагор : $BM = \sqrt{d^{2} - DM^{2}} = \sqrt{d^{2} - 16}$
$AM + BM = AB \Leftrightarrow \sqrt{b^{2} - 16} + \sqrt{d^{2} - 16} = 18$
Съставям системата:
[tex]\begin{array}{|l} b^{2} + d^{2} = 436 \\ \sqrt{b^{2} - 16} + \sqrt{d^{2} - 16} = 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} b^{2} = 436 - d^{2} \\ b^{2} - d^{2} - 324 = - 36\sqrt{d^{2} - 16} \end{array} .....\Leftrightarrow d^{4} - 436d^{2} + 8320 = 0[/tex]
$d^{2} = y >0$ и получавам :$y^{2} - 436y + 8320 = 0 ,D = 396^{2} ,y_{1 } = 416 ,y_{2 } = 20$ и съответно $d_{2 } = 2\sqrt{5},d_{1 } = 4\sqrt{26}$
Съответно : $b_{2 } = 4 \sqrt{26} , b_{1 } = 2\sqrt{5}$
Очевидно решения са :$b = 2\sqrt{5} ,d = 4\sqrt{26}$
$AM = \frac{AB - CD}{2} = \frac{18 - CD}{2} = (2\sqrt{5})^{2} - 4^{2} \Leftrightarrow \frac{18 - CD}{2} = 20 - 16 \Rightarrow CD = 10$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.DM = \frac{18 + 10}{2}.4 = 56[/tex]

[Гост]

Верният отговор е 48

[S.B.]

Верният отговор е 48

Напълно възможно е при толкова неприятни изчисления да съм сбъркала някъде,но постановката на задачата е правилна.Прегледайте я,вземете калкулатор и се опитайте да получите правилния отговор.Всъщност задачата е дадена за домашно на Вас.Моята грешка е,че вместо да Ви дам само насоката се забих и в подробности като изчисленията.Успех!

[Евва]

Гости,защо не давате и отговорите (макар някои да са грешни) заедно с условията
Това на мен страшно ми помага.
Ето в случая-направих чертеж според отговора и разбрах:
Ако S.B.е допуснала грешка,то може би е тук,че [tex]\triangle[/tex]ABD-може да е тъпоъгълен (cos[tex]\varphi[/tex]<0)

[Гост]

Публикувах я тук, защото с госпожата доста време я гледахме и не можехме да се сетим как да я решим , а имайки предвид, че е от задачите в първи модул и отговора е избираем, би трябвало решението да е просто

[Евва]

Получих отговора.
Ето идеята: [tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABD }[/tex]+[tex]S_{BCD }[/tex]=36+[tex]S_{BCD }[/tex]=...

Скрит текст: покажи

Утре ще пратя решението.Ако някой ученик я реши преди това ,ще съм много щастлива.Личното ми мнение е, че тази задача е от по-трудните.

[S.B.]

Без заглавие (34).png

Трапецът ABCD е вписан в окръжност с R=[tex]\sqrt{130}[/tex]. Ако височината MN= 4, AB=18, то лицето на трапеца е?

Щом трапеца е вписан в окръжност ,той е равнобедрен.
$AB= 18, DM \bot AB,DM = 4, AD = b, DB = d , CD = x, \angle ADB = \varphi$
За $\triangle ABD$ прилагам синусова теорема: $\frac{AB}{sin\varphi} = 2R \Leftrightarrow \frac{18}{sin\varphi} = 2\sqrt{130} \Rightarrow sin\varphi = \frac{9\sqrt{130}}{130} , cos\varphi = \frac{7\sqrt{130}}{130}$
[tex]S_{ABD } = \frac{b.d}{2}.sin\varphi = \frac{b.d}{2}.\frac{9\sqrt{130}}{130} ; S_{ABD } = \frac{18.4}{2} = 36 \Rightarrow \frac{b.d}{2}.\frac{9\sqrt{130}}{130} = 36 \Rightarrow b.d = 8\sqrt{130}[/tex]
За $\triangle ABD $ прилагам косинусова теорема: $18^{2} = b^{2} + d^{2} - 2.b.d.cos\varphi = b^{2} + d^{2} - \frac{2.8\sqrt{130}.7\sqrt{130}}{130} = b^{2} + d^{2} - 112$ или $b^{2} + d^{2} = 436$
От $\triangle AMD$ по Питагор : $AM = \sqrt{b^{2} - DM^{2}} = \sqrt{b^{2} - 16}$
От $\triangle BMD$ по Питагор : $BM = \sqrt{d^{2} - DM^{2}} = \sqrt{d^{2} - 16}$
$AM + BM = AB \Leftrightarrow \sqrt{b^{2} - 16} + \sqrt{d^{2} - 16} = 18$
Съставям системата:
[tex]\begin{array}{|l} b^{2} + d^{2} = 436 \\ \sqrt{b^{2} - 16} + \sqrt{d^{2} - 16} = 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} b^{2} = 436 - d^{2} \\ b^{2} - d^{2} - 324 = - 36\sqrt{d^{2} - 16} \end{array} .....\Leftrightarrow d^{4} - 436d^{2} + 8320 = 0[/tex]
$d^{2} = y >0$ и получавам :$y^{2} - 436y + 8320 = 0 ,D = 396^{2} ,y_{1 } = 416 ,y_{2 } = 20$ и съответно $d_{2 } = 2\sqrt{5},d_{1 } = 4\sqrt{26}$
Съответно : $b_{2 } = 4 \sqrt{26} , b_{1 } = 2\sqrt{5}$
Очевидно решения са :$b = 2\sqrt{5} ,d = 4\sqrt{26}$
$AM = \frac{AB - CD}{2} = \frac{18 - CD}{2} = (2\sqrt{5})^{2} - 4^{2} \Leftrightarrow \frac{18 - CD}{2} = 20 - 16 \Rightarrow CD = 10$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.DM = \frac{18 + 10}{2}.4 = 56[/tex]

Аз открих грешката:$11 <R = \sqrt{130} < 12 \Rightarrow 22 < 2R =2\sqrt{130} <24 \Rightarrow AB = 18 < 2R$ т.е. $AB$ е над диаметъра $\varphi> 90^\circ \Rightarrow cos\varphi = -\frac{7\sqrt{130}}{130}$ Тогава първото уравнение в системата става: $ b^{2} + d^{2} = 212$

[S.B.]

Все пак добре е да довърша задачата,след като съм я започнала,за да няма съмнения и дискусии.Както казах по-горе системата става:
[tex]\begin{array}{|l} b^{2} + d^{2} = 212 \\\sqrt{b^{2} -16} + \sqrt{d^{2} - 16} = 18\end{array}[/tex]
Нека $b^{2} = u >0 , d^{2} = v >0$ Заместавам и получавам:
[tex]\begin{array}{|l} u + v = 212 \\ \sqrt{u - 16} + \sqrt{v - 16} = 18 \end{array}[/tex]
След преобразувания получавам:$u^{2} - 212u +8320 = 0 ,D = 108^{2} ,u_{1 } = 160 ,u_{2 } = 52$
$b^{2} = u \Rightarrow b_{1 } = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} ,b_{2 } = 2\sqrt{14}$
$ AM_{1 } = \sqrt{160 - 16} =12 \Rightarrow \frac{18 - CD}{2} = 12 ,CD = - 6<0$
$AM_{2 } = \sqrt{52 - 16} = 6 \Rightarrow \frac{18 - CD}{2} = 6 ,CD = 6$
$S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.DM = \frac{18 + 6}{2}.4 = 48$

[S.B.]

Нов по-подробен чертеж към задачата за трапец

Без заглавие (35).png (193.22 KiB) Прегледано 290 пъти

[Knowledge Greedy]

С червено на чержежите са именувани половинките от дължините на основите. Зад кадър са две питагорови теореми и явно - формулата за лице на трапец.

Неочакваният втори случай.png (5.93 KiB) Прегледано 270 пъти

Този случай явно не е взет в предвид от авторите на теста.
Очевидно лицето на трапеца е [tex]S=\frac{1}{2}(22+18)\times 4=80[/tex]

Очакваният Случай 1.png (6.37 KiB) Прегледано 270 пъти

[tex]S=\frac{1}{2}(18+6)\times 4=48[/tex]

[Евва]

Помислих си,че е 1 април ,защото R=[tex]\sqrt{130}[/tex],а не на [tex]\sqrt{139}[/tex].

[Евва]

Нека BD=d,AD=BC=b,[tex]\angle[/tex]DBC=[tex]\alpha[/tex]; S.B.вече намери bd=8[tex]\sqrt{130}[/tex] (1) и [tex]b^{2}[/tex]+[tex]d^{2}[/tex]=212 (2)
sin[tex]\alpha[/tex]=
([tex]\triangle[/tex]BCD-cosT) [tex]DC^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex]+[tex]d^{2}[/tex]-2bd.cos[tex]\alpha[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]DC^{2}[/tex]=212-16[tex]\sqrt{130}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] (3)

([tex]\triangle[/tex]BCD-sinT) [tex]\frac{DC}{sin\alpha}[/tex]=2R [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{DC}{sin\alpha}[/tex]=2[tex]\sqrt{130}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]DC^{2}[/tex]=520(1-[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]) (4)

От (3) и (4) получаваме:212-16[tex]\sqrt{130}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]=520(1-[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]) ...

130[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-2(2[tex]\sqrt{130}[/tex])cos[tex]\alpha[/tex]-77=0 ;k=-2[tex]\sqrt{130}[/tex] ;D=520+10 010=10 530=81.130

cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{130}\pm9\sqrt{130}}{130}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos_{1 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{11\sqrt{130}}{130}[/tex] ;[tex]cos_{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=-[tex]\frac{7\sqrt{130}}{130}[/tex]

Скрит текст: покажи

Професорът ми подсказа,че [tex]cos_{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex] не бива да отпада.

Тогава [tex]sin_{1 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3\sqrt{130}}{130}[/tex] и [tex]sin_{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{9\sqrt{130}}{130}[/tex]
_____________________________________________________________
Всичко това бе подготовката,а самото решение е кратко.

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{ABD }[/tex]+[tex]S_{BCD }[/tex]=[tex]\frac{AB.DD_{1 }}{2}[/tex]+[tex]\frac{bd.sin\alpha}{2}[/tex]= [ виж (1)]

=[tex]\frac{18.4}{2}[/tex]+[tex]\frac{8\sqrt{130}.3\sqrt{130}}{2.130}[/tex]=36+12=48 ( 1 случай при [tex]sin_{1 }[/tex][tex]\alpha[/tex])

Аналогично [tex]S_{ABCD }[/tex]=...=72 (2 случай при [tex]sin_{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex])

Получавам 2 отговора:48 и 72

Скрит текст: покажи

На мен с втория отг. не ми се получава нещо Дано поговорката "Сговорна дружина планина повдига."да проработи за тази задача.

[Гост]

Определено задачата е трудничка като за ученик

[Knowledge Greedy]

Помислих си,че е 1 април ,защото [tex]R=\sqrt{130}[/tex], а не [tex]R=\sqrt{139}[/tex].

Нямам идея, защо се е появила тази деветка, при това и на двата чертежа. Обаче всички сметки са като със [tex]R=\sqrt{130}[/tex]