Редица - всеки следващ е равен на сумата на цифрите на предх

[Гост]

Дадена е редица, на която първият член е [tex]3^{4^{5}}[/tex], а всеки следващ е равен на сумата на цифрите на предходния. Намерете петия член.

[Добромир Глухаров]

Трябва да се съобрази, че петият член е едноцифрено число, значи е цифровия корен на $3^{4^5}$, значи е $9$.

[Knowledge Greedy]

[tex]4^5=2^{10}=1024[/tex]
[tex]3^{4^5}=3^{1024}=9^{512}[/tex]
Означаваме [tex]b_1=9^{512}[/tex]
и за всяко [tex]n\ge 2[/tex], числото [tex]b_{n}[/tex] е равно на сбора от цифрите на [tex]b_{n-1}[/tex].

Първо да отбележим, че [tex]b_{n}[/tex] се дели на [tex]9[/tex] за всяко [tex]\forall n[/tex].
Второ, до известно място [tex]m[/tex] редицата [tex]\left \{ b_n \right \}[/tex] намалява, след което, т.е. [tex]\forall n>m \,\ \Rightarrow \,\ b_n=9[/tex]
Следователно отговорът на задачата е [tex]9[/tex], защото [tex]m=4[/tex].
По-подробно.
Всяко реално число [tex]a[/tex] е разположено между две последователни степени на [tex]10[/tex]
(разглеждаме числата в обичайната десетична позиционна бройна система).
[tex]10^{k-1}\le a <10^k[/tex]
От неравенствата
[tex]k-1\le lg a <k[/tex]
съдим за броя на цифрите на числото [tex]a[/tex].
В случая конкретно, [tex]a[/tex] има точно [tex]k[/tex] цифри.
_____________
Сега забелязах, че Добри ме е изпреварил и спирам да пиша.